PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Найдите квадрат длины вектора
+ 
От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Найдите 
если 
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле 
где h — расстояние в метрах, t − время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
На рисунке изображён график функции
Найдите значение x, при котором 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
Решите неравенство 
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.
а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно два решения.
Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:
а) 1989?
б) 2012?
в) 2016?
Если нет — объясните почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.
Получаем:
имеет координаты 
вектор 
имеет координаты 
Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Тогда вектор 
имеет координаты 
Длина вектора 
Поэтому квадрат длины вектора равен 
поэтому 
поэтому число −1 не является корнем.
— расстояние до воды до дождя, 
— расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным 
с.
метров. 
кг,
Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты: 
Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты: 
Решим полученную систему уравнений:
определяем, что 
и 
Тогда получаем систему:
Решим уравнение 
:
Уравнение 
не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является 
отрезку 
принадлежит только число 2.
б) 2.
следовательно, 
Значит, М — середина СС1.
Значит, 
В треугольнике RPM находим стороны: 
По теореме косинусов
уравнение плоскости APQ имеет вид 
Координаты точки М() с координатами
получим:
тыс. руб.
рассмотрим разность последовательных членов:
имеет корень 
Таким образом, 
при 
и 
при 
то есть 
и 
Поскольку 
находим: 
Также имеем 
Заметим, что треугольники AB1B и BCB1 имеют общую высоту, следовательно: 
Поэтому 
Аналогично доказываем, что 
Аналогично доказываем, что 
Тогда 
из которого, в свою очередь, следует параллельность отрезков BC и 
Отрезок 
рассекает исходный треугольник ABC на треугольник 
и трапецию 
в которой точка О — это точка пересечения диагоналей.
тогда 
составит 
Диагонали трапеции отсекают от неё подобные треугольники BCO и 
в которых 
Поэтому площадь 
а площадь треугольника 
составит его 25-ю часть, то есть 
Наконец, 
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать. 
и 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно. 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Теперь первое уравнение системы принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
является решением системы, если 
При этом значении параметра система принимает вид 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
получим уравнение 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое. 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми 
Тогда Маша вычисляла произведение 
Кроме того, множители не равны нулю, и, значит, 
не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.
также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде 
Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.
запишем в виде 
и 
хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а следовательно, он делится и на 9. Кроме того, поскольку 7 ― простое число, один из сомножителей левой части делится 
множители y и 
либо х. Рассмотрим эти варианты.
так как 
В этом случае для делимости на 7 либо 
(тогда 
― не подходит), либо 
(
― не подходит). 
то для делимости на 7 либо 
(подходит), либо 
(откуда 
― не подходит). 
является решением.