ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 639485 Добавить в вариант

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

  — в январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;

  — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 375 000 рублей?

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма кредита равна S рублей, а ежегодная выплата равна x рублей. Каждый январь долг увеличивается на 25%, то есть в $k=1,25$ раз. Заполним таблицу.

Год (номер года)	Долг в январе (в руб.)	Выплата (в руб.)	Долг в июле (в руб.)
2023			S
2024 (1)	kS	x	$kS минус x$
2025 (2)	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x$
2026 (3)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x$
2027 (4)	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка$	x	$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x=0$

Выразим S:

$k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x=0 равносильно k в степени 4 S минус x левая круглая скобка k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно S= дробь: числитель: x левая круглая скобка k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: k в степени 4 конец дроби равносильно S= дробь: числитель: x левая круглая скобка k в степени 4 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: k в степени 4 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $k левая круглая скобка k левая круглая скобка k левая круглая скобка kS минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус x=0 равносильно$
$равносильно k в степени 4 S минус x левая круглая скобка k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно S= дробь: числитель: x левая круглая скобка k в кубе плюс k в квадрате плюс k плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: k в степени 4 конец дроби равносильно S= дробь: числитель: x левая круглая скобка k в степени 4 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: k в степени 4 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Тогда, учитывая, что $k=1,25= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,$ получаем:

$S= дробь: числитель: левая круглая скобка \dfrac54 правая круглая скобка в степени 4 минус 1, знаменатель: левая круглая скобка \dfrac54 правая круглая скобка в степени 4 левая круглая скобка \dfrac54 минус 1 правая круглая скобка конец дроби x = дробь: числитель: \dfrac625, знаменатель: 256 конец дроби минус 1 \dfrac625256 умножить на \dfrac14 x = дробь: числитель: 4 умножить на 369 умножить на 256, знаменатель: 625 умножить на 256 конец дроби x = 4x умножить на дробь: числитель: 369 , знаменатель: 625 конец дроби .$

Сумма выплат равна 375 000 рублей, значит, $4x=375000.$ Подставив это значение, находим

$S= дробь: числитель: 375 000 умножить на 369 , знаменатель: 625 конец дроби = дробь: числитель: 15 000 умножить на 369 , знаменатель: 25 конец дроби =600 умножить на 369=221 400$ рублей.

Ответ: 221 400.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 517571: 517573 639485 639651 ... Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал;

Задания 15 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Дальний Восток;

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна;

Задания 16 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Урал.

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь