Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Всего вы­сту­па­ет 70 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 14 спортс­ме­нов из Сер­бии, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать спортс­мен из Сер­бии равна 0,2.

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Пусть цен­траль­ный и впи­сан­ный угол опи­ра­ют­ся на дугу дли­ной A ра­ди­ан. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, а впи­сан­ный равен её по­ло­ви­не, по­это­му их ве­ли­чи­ны равны со­от­вет­ствен­но A и 0,5A ра­ди­ан. Тогда A − 0,5A  =  67°, от­ку­да A  =  134°.

Ответ: 134.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −0,5.

Ре­ше­ние. Пусть объём пер­во­го ци­лин­дра равен объём вто­ро­го  — где R_{1, 2}  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ци­лин­дров, H_{1, 2}  — их вы­со­ты. По усло­вию Вы­ра­зим объём вто­ро­го ци­лин­дра через объём пер­во­го:

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (5; −5), B (5; 0), C (0; 0). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха молей:

Ответ: 4,4.

Ре­ше­ние. Пусть x км/ч  — ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, тогда км/ч  — ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию, км/ч  — ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния. По те­че­нию теп­ло­ход дви­жет­ся часов, а про­тив те­че­ния часов, весь путь занял часов, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость теп­ло­хо­да равна 15 км/ч.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Зна­чит, Найдём

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень равна 1 − 0,2  =  0,8. Тогда ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в первую ми­шень, а в 3 остав­ши­е­ся про­мах­нет­ся, равна

Ответ: 0,0064.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и фор­му­лу при­ве­де­ния, по­лу­чим

б)  Длина от­рез­ка равна 1,5π, а рас­сто­я­ние между со­сед­ни­ми чле­на­ми в каж­дой серии ре­ше­ний равно 2π, по­это­му в за­дан­ный от­ре­зок из каж­дой серии может войти не более од­но­го корня. Не­труд­но ви­деть, что эти корни суть –π, и

Ответ: а)  б) –π, и

Ре­ше­ние. а) Пусть O  — центр квад­ра­та ABCD. Рас­смот­рим плос­кость SAC. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет её по пря­мой, па­рал­лель­ной SA. Это пря­мая MO. Тогда плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой NO. Пусть NO пе­ре­се­ка­ет AD в точке K. В силу сим­мет­рии ABCD от­но­си­тель­но O имеем Но из па­рал­лель­но­сти плос­ко­сти  α и пря­мой  SA по­лу­ча­ем, что пря­мые KL и SA па­рал­лель­ны, по­это­му по тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть NK пе­ре­се­ка­ет CD в точке P. Из по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков PKD и PNC по остро­му углу по­лу­ча­ем, что PD  =  CD. От­ме­тим, что объем MLDKNC равен раз­но­сти объ­е­мов пи­ра­мид MPNC и LPKD. Вы­ра­зим объ­е­мы этих пи­ра­мид через объем SABCD.

M  — се­ре­ди­на SС, по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды MPNC равна по­ло­ви­не вы­со­ты SABCD, в то же время

от­ку­да

Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что а это зна­чит, что вы­со­та вы­со­та пи­ра­ми­ды LPKD равна трети вы­со­ты SABCD, а

от­ку­да

Окон­ча­тель­но

от­ку­да не­мед­лен­но сле­ду­ет ответ.

Ответ: б) 5 : 13.

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем: от­ку­да или от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пла­теж в 2030 и 2031 годах будет равен x млн руб., а сумма кре­ди­та  млн руб. За­пол­ним таб­ли­цу в со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи:

Из по­след­ней стро­ки таб­ли­цы по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Пер­вый платёж мень­ше по­след­не­го, зна­чит, раз­ни­ца между пер­вым и по­след­ним пла­те­жом равна

Ответ: 1,5 млн руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что Тогда сле­до­ва­тель­но, Рав­ные дуги стя­ги­ва­ют рав­ные хорды, сле­до­ва­тель­но, BM = CN.

б)  За­ме­тим, что углы BND и NBD опи­ра­ют­ся на дуги рав­ные сле­до­ва­тель­но, таким об­ра­зом, тре­уголь­ник BDN рав­но­бед­рен­ный, Тогда, как ги­по­те­ну­за в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHD с углом 30 гра­ду­сов BD = ND = 2BH = 14.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Тем самым в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa ис­ход­ное урав­не­ние задаёт объ­еди­не­ние дуг окруж­но­стей ра­ди­у­са с цен­тра­ми в точ­ках и ле­жа­щих ниже и выше пря­мой со­от­вет­ствен­но (см. рис.), пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в точ­ках и Ко­ли­че­ство кор­ней рав­не­ния равно ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка урав­не­ния с го­ри­зон­таль­ной пря­мой при со­от­вет­ству­ю­щем зна­че­нии a.

Поль­зу­ясь по­стро­ен­ным ри­сун­ком, по­лу­ча­ем:

  — при урав­не­ние не имеет кор­ней;

  — при урав­не­ние имеет один ко­рень;

  — при урав­не­ние имеет два корня;

  — при урав­не­ние имеет три корня;

  — при урав­не­ние имеет че­ты­ре корня;

  — при урав­не­ние имеет три корня;

  — при урав­не­ние имеет два корня;

  — при урав­не­ние имеет три корня;

  — при урав­не­ние имеет че­ты­ре корня;

  — при урав­не­ние имеет три корня;

  — при урав­не­ние имеет два корня;

  — при урав­не­ние имеет один ко­рень;

  — при урав­не­ние не имеет кор­ней.

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Для того, чтобы сумма трёх иду­щих под­ряд чисел была нечётна, рядом с каж­дым чётным чис­лом долж­ны сто­ять числа раз­ной чётно­сти, а рядом с каж­дым нечётным  — числа оди­на­ко­вой чётно­сти. Пред­по­ло­жим, что среди чисел есть чётное число, тогда для того, чтобы сумма трёх чисел была нечётна, рядом с ним долж­но сто­ять одно чётное и одно нечётное число: ... Ч, Ч, Н... но рядом с нечётным, долж­ны быть числа оди­на­ко­вой чётно­сти, по­это­му по­лу­ча­ем: ...Ч, Ч, Н, Ч... Но тогда сумма ука­зан­ных четырёх чисел не­чет­на и не может де­лить­ся на 4. Зна­чит, среди рас­став­лен­ных чисел чётных чисел нет. Ко­ли­че­ство нечётных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 425 равно 213. Зна­чит, и не может рав­нять­ся 280.

б)  Нечётные числа при де­ле­нии на 4 могут да­вать остат­ки 1 и 3. Для того чтобы сумма любых четырёх иду­щих под­ряд чисел де­ли­лась на 4, нужно либо ис­поль­зо­вать толь­ко числа, ко­то­рые дают оди­на­ко­вые остат­ки, но их не боль­ше 107, тогда что не под­хо­дит, либо числа, да­ю­щие раз­ные остат­ки, долж­ны че­ре­до­вать­ся (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каж­дых че­ты­рех иду­щих под­ряд чис­лах было по два числа, да­ю­щих раз­ные остат­ки, но тогда их по­ров­ну, и число N чет­ное. Зна­чит, N не может рав­нять­ся 149.

в)  Из рас­суж­де­ний в пунк­тах а) и б) по­лу­ча­ем, что При­ведём при­мер для

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние

Ответ: а)  нет, не может; б)  нет, не может; в)  212.