PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите корень уравнения 
В соревнованиях участвуют 40 спортсменов, из которых 6 — из Румынии. Найдите вероятность того, что первым на соревнованиях будет выступать спортсмен из Румынии.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 54, вписана окружность, AB = 18. Найдите длину стороны CD.
Найдите значение выражения 
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 36. Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
На рисунке изображён график функции
— производной функции 
определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции 
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 
этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
и 
их общее сопротивление даeтся формулой 
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ выразите в омах.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 35% меди, второй — 5% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 80 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, 
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC = 6.
Решите неравенство 
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 900 000 рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа с 1 по 12 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;
— 15-го числа 13 месяца долг должен быть погашен.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 12 месяца, если всего было выплачено 1134 тысяч рублей?
Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет три различных решения.
Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.
а) Может ли быть 
?
б) Может ли быть 
?
в) Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.
отсюда
при известном значении сопротивления приборов 
кг, а масса третьего сплава — 
кг. Первый сплав содержит 35% меди, второй — 5% меди, третий сплав — 30% меди. Тогда:
Находим: 
б) 
следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH — биссектриса угла BAC, а прямые AH и BC перпендикулярны. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
Следовательно, 
тогда
Значит, 15-го числа 12-го месяца долг составит 300 тыс. рублей.
Пусть N и K — точки касания окружности со сторонами AC и BC. Тогда CN = CK, BK = BP, AN = AP. Заметим, что 
В случае AC < BC решение аналогично. Что и требовалось доказать.
Отсюда 
откуда 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
с прямой 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой 
и при 
и не больше 
поэтому среди наших чисел нет четырехзначных, но есть трехзначные. Поскольку знаменатель 72 может появиться только при сложении дробей со знаменателями 8 и 9, эти четыре числа имеют среди своих первых цифр и 8, и 9, поэтому среди них точно есть 899 и 900. Тогда максимально возможная сумма составит 
