Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, 
а) Без ограничения общности можно считать, что 
Пусть N и K — точки касания окружности со сторонами AC и BC. Тогда CN = CK, BK = BP, AN = AP. Заметим, что
откуда 
В случае AC < BC решение аналогично. Что и требовалось доказать.
б) Если AM = MC, то по признаку прямоугольного треугольника угол C равен 90°. Пусть O — центр окружности. Тогда CNOK — квадрат, поскольку все его углы прямые и соседние стороны равны. Пусть CK = r, BK = x. Тогда 
Отсюда
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
Тогда 
откуда 
Ответ: б)