PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Призерами олимпиады стали 18 человек, что составило 10% от участвующих. Сколько всего человек участвовало в олимпиаде?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.
В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Г., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Найдите корень уравнения 
В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол BAD равен 30°, AD — биссектриса. Найдите угол C.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Найдите значение выражения: 
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением 
где 
и 
— давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 
и 
— объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 224 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 104 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на
Найдите точку минимума функции 
a) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA1 = 1.
Решите неравенство 
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите 
15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января
— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;
— 15 июля 2027 года долг должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы два различных корня.
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Значит, всего в этой олимпиаде участвовало 180 человек.
откуда 
она в 
:
Решим полученное уравнение, заметив, что 
и возведя обе части уравнения в степень 
:
км/ч. Из A в B велосипедист двигался на 5 часов дольше, чем из В в А, откуда имеем: 
Далее вынесем общий множитель за скобки, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, заметим полный квадрат:
равна 
а расстояние между соседними членами первой серии равно π. Поэтому из первой серии найденных решений в этот отрезок могут попасть не более двух членов; это числа 
при 
и 
при 
Соседние члены второй и третьей серии отличаются на 2π, поэтому в заданный отрезок может попасть не более одного члена из каждой серии. Это числа 
и 
соответственно, соответствующие 
но последнее в интервал не попадает.
б) 
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. 
поэтому угол 
прямой, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
тогда:
откуда 
либо 
откуда 
тыс. руб.
тогда исходное уравнение имеет хотя бы два корня тогда и только тогда, когда уравнение 
получаем линейное уравнение
рассмотрим квадратичную функцию 
с положительным старшим коэффициентом. Учитывая, что случай 
невозможен, получаем, что для того, чтобы квадратное уравнение 
имело хотя бы один положительный корень, достаточно, чтобы выполнялась система условий 
откуда получаем:
получаем ответ.
и 
удовлетворяет условию задачи.
Но тогда, третий член 
является четырёхзначным числом, что противоречит условию.
получаем, что знаменатель прогрессии q должен быть меньше трех. При этом, чтобы все члены прогрессии были натуральными, знаменатель прогрессии должен иметь вид 
где 
Запишем эти числа в порядке убывания: 
и проверим их. Если 
то получаем прогрессию 128, 368, 1058 — не подходит. Если 
то получаем прогрессию 128, 352, 968. Наибольшее число равно 968. Меньшие знаменатели прогрессии, дадут меньшие значения третьего члена прогрессии.
получаем, что знаменатель прогрессии должен быть 
При этом чтобы все члены прогрессии были натуральными, знаменатель прогрессии должен иметь вид 
где 
Тогда при k = 4 получим прогрессию 128, 8a, 
в которой всего два натуральных числа, следовательно, k = 1, 2, 3. При k = 3 получим прогрессию 128, 16a, 
в которой при всех a три натуральных числа. Максимальное число будет достигаться при максимальном a = 13 и будет равно 338. При k = 2 получим 
Возможных значений q будет три: 
и 
Если 
то получаем прогрессию 128, 224, 392, 686, 1200,5, ...; наибольшее число равно 686. Если 
то получаем прогрессию 128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, ...; наибольшее число равно 972. Если 
то получаем прогрессию 128, 160, 200, 250, 312,5, ...; наибольшее натуральное число равно 250. При k = 1 единственное возможное a = 3 получим прогрессию из предыдущего пункта с наибольшим числом равным 972.