На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом
б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна
Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:
3m + 7n = 7A + 7B + 16C.
Это невозможно, поскольку 
в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:
Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то 
Кроме того, Значит,
Найдём, при каком значении n выражение 
принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность
Значит, 
при 
и 
при 
Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,
Покажем, что отношение Q могло равняться 
Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом, 
Ответ: а) да, 6) нет, в)