В наборе 100 гирек весом 1,2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.
а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?
б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?
в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?
а) Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна 4 · 6 − 3 · 5 = 9 граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке.
б) Пусть в первой куче было n гирек, а их средняя масса равнялась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась na г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой k г, в первой куче стало n + 1 гирек, их средняя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна na + k г. Таким образом,
Следовательно, число a целое и не может равняться 7,5.
в) Сумма масс n гирек не меньше 
следовательно, 
В первую кучу переложили гирьку массой
поэтому 
откуда 
Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 65. Покажем, что могло быть 65 гирек. Если в первой кучке лежало 65 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 65 г, и к ним добавили гирьку массой 
то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65.
Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.