ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 548436 Добавить в вариант

а)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x в квадрате плюс mx плюс n$ равен 33?

б)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x в квадрате плюс mx плюс n$ равен 26?

в)  Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена $x в квадрате плюс левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 8n плюс m правая круглая скобка ,$ если известно, что числа m, n и D  — натуральные?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например, можно взять $x в квадрате плюс 7x плюс 4.$

б)  Нет. Если бы это было возможно, то выполнялось бы равенство $m в квадрате минус 4n=26,$ откуда $m в квадрате =26 плюс 4n.$ Если m четно, то $m в квадрате$ кратно 4, а 26 + 4n не кратно 4. Если же m нечетно, то $m в квадрате$ тоже нечетно, а 26 + 4n четно.

в)  Дискриминант уравнения равен

$левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8n плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32n минус 4m= левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32 левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка плюс 156m=$ $левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 8n плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32n минус 4m=$
$= левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32 левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка плюс 156m=$

$= левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32 левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка плюс 256 плюс 156m минус 256= левая круглая скобка 5m плюс n минус 16 правая круглая скобка в квадрате плюс 156m минус 256.$ $= левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 32 левая круглая скобка 5m плюс n правая круглая скобка плюс 256 плюс 156m минус 256=$
$= левая круглая скобка 5m плюс n минус 16 правая круглая скобка в квадрате плюс 156m минус 256.$

Пусть m  =  1, тогда получим

$левая круглая скобка n минус 11 правая круглая скобка в квадрате плюс 156 минус 256= левая круглая скобка n минус 11 правая круглая скобка в квадрате минус 100= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 21 правая круглая скобка .$

При $n принадлежит левая квадратная скобка 1; 21 правая квадратная скобка$ это выражение неположительно, а при $n больше или равно 22$ оно возрастает, поэтому оптимальный вариант будет при n  =  22. Дискриминант в этом случае будет равен 21 и трехчлен будет иметь вид: $x в квадрате плюс 27x плюс 177.$

Пусть $m больше или равно 2,$ то это выражение будет не меньше $0 в квадрате плюс 156 умножить на 2 минус 256=56.$

Ответ: а) да, б) нет, в) 21.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:   — неверный ответ из-за вычислительной ошибки;   — верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 549119: 548436 Все

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь