Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, можно взять

б)  Нет. Если бы это было воз­мож­но, то вы­пол­ня­лось бы ра­вен­ство от­ку­да Если m четно, то крат­но 4, а 26 + 4n не крат­но 4. Если же m не­чет­но, то тоже не­чет­но, а 26 + 4n четно.

в)  Дис­кри­ми­нант урав­не­ния равен

Пусть m  =  1, тогда по­лу­чим

При это вы­ра­же­ние не­по­ло­жи­тель­но, а при оно воз­рас­та­ет, по­это­му оп­ти­маль­ный ва­ри­ант будет при n  =  22. Дис­кри­ми­нант в этом слу­чае будет равен 21 и трех­член будет иметь вид:

Пусть то это вы­ра­же­ние будет не мень­ше

Ответ: а) да, б) нет, в) 21.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.

б)  Нет. За­ме­тим, что число дает тот же оста­ток от де­ле­ния на 3, что и его сумма цифр. По­это­му сумма всех этих чисел будет да­вать оста­ток от де­ле­ния на 3 такой же, как и про­сто сумма вось­ми­де­ся­ти еди­ниц, то есть 2, а 150 крат­но трем. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Ясно, что ис­поль­зо­вать сла­га­е­мые боль­шие чем 111 нель­зя, а само число 111 можно, но толь­ко один раз. Если оно ис­поль­зо­ва­но, то нужно на­брать ещё 39, это де­ла­ет­ся ис­поль­зо­ва­ни­ем числа 11 от 0 до 3 раз и, со­от­вет­ствен­но, тре­бу­ет 42, 33, 24, 15 еди­ниц.

Если число не ис­поль­зо­ва­но, то можно ис­поль­зо­вать 11 от 0 до 13 раз. Каж­дое новое ис­поль­зо­ва­ние 11 вме­сто двух еди­ниц уве­ли­чи­ва­ет сумму на 9, по­это­му долж­но со­про­вож­дать­ся вы­ки­ды­ва­ни­ем де­вя­ти еди­ниц. Сле­до­ва­тель­но, можно взять также 150, 141, ..., 33 еди­ни­цы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15 (про­грес­сия с раз­но­стью 9).

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­ны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.

б)  Каж­дое из на­пи­сан­ных чисел окан­чи­ва­ет­ся на 4, по­это­му если их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0, то их ко­ли­че­ство долж­но де­лить­ся на 5. Сумма пяти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 4, равна 24 + 54 + 84 + 114 + 144  =  420. Зна­чит, по­лу­чить сумму 390 не­воз­мож­но.

в)  Пусть на доске на­пи­са­но n чисел. За­ме­тим, что любое число, ко­то­рое окан­чи­ва­ет­ся на 4, пред­ста­ви­мо в виде 5k + 4. Зна­чит, сумма чисел, на­пи­сан­ных на доске, равна 2226 = 5m + 4n. Сле­до­ва­тель­но, 4n даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 5, от­ку­да по­лу­ча­ем, что n даёт оста­ток 4 при де­ле­нии на 5.

Пред­по­ло­жим, что Сумма че­тыр­на­дца­ти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 4, равна

Зна­чит, n < 14, сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что могло быть на­пи­са­но де­вять чисел. На­при­мер, сумма де­вя­ти чисел 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194 равна 2226.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

При­ве­дем ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва (Москва).

а)  Воз­рас­та­ю­щий ряд на­ту­раль­ных чисел, де­ля­щих­ся на 3 (сумма цифр числа де­лит­ся на 3) и окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, на­чи­на­ет­ся фраг­мен­том: 24, 54, 84, 114, 144, ... . Легко по­до­брать при­мер:

б)  До­пу­стим, может. Это озна­ча­ет, что в сумме как ми­ни­мум пять сла­га­е­мых (иначе сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, не за­кан­чи­ва­ет­ся 0). Сле­до­ва­тель­но, сумма не мень­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

в)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что рас­смат­ри­ва­е­мая по­сле­до­ва­тель­ность чисел воз­рас­та­ет. Раз­ность со­сед­них чисел долж­на де­лить­ся и на 10, по­сколь­ку все числа окан­чи­ва­ют­ся на 4, и де­лить­ся на 3, по­сколь­ку все числа де­лят­ся на 3. Сле­до­ва­тель­но, эта раз­ность равна 30. То есть на доске на­пи­са­ны числа вида где k_i  — целое не­от­ри­ца­тель­ное число. Тогда сумма n чисел на доске равна

Так как все числа на доске раз­лич­ны, то

Тогда

Из этого не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что Из (⁎) сле­ду­ет, что де­лит­ся на 10, сле­до­ва­тель­но, и за­ве­до­мо не под­хо­дят. При из (⁎) по­лу­ча­ем, что По­стро­е­ние при­ме­ра за­вер­ша­ет его предъ­яв­ле­ние:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­сла­ва Фран­ка (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

а)  Да. На­при­мер, 24 + 54 + 204.

б)  Нет. Если их по­след­ние цифры чет­вер­ки, то нужно ми­ни­мум 5 чисел, чтобы их сумма кон­ча­лась на 0, но даже сумма самых ма­лень­ких пяти таких чисел слиш­ком ве­ли­ка:

в)  Разо­бьем числа на груп­пы по пять. Тогда в каж­дой груп­пе сумма кон­ча­ет­ся на 0. Зна­чит, в по­след­ней груп­пе (она могла бы быть не­пол­ной) долж­но быть 4 числа  — иначе по­след­няя цифра суммы не сой­дет­ся. Итак, общее ко­ли­че­ство чисел может быть 4, 9, 14, 19, ... . Если взять 14 наи­мень­ших чисел, то их сумма будет равна По­это­му чисел не более де­вя­ти. Де­вять чисел взять можно, на­при­мер,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске на­пи­са­ны числа 6, 36 и 156. Тогда их сумма равна 198.

б)  Каж­дое из на­пи­сан­ных чисел окан­чи­ва­ет­ся на 6, по­это­му если их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0, то их ко­ли­че­ство долж­но де­лить­ся на 5. Сумма пяти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 6, равна 6 + 36 + 66 + 96 + 126  =  330. Зна­чит, по­лу­чить сумму 270 не­воз­мож­но.

в)  Пусть на доске на­пи­са­но n чисел. За­ме­тим, что любое число, ко­то­рое окан­чи­ва­ет­ся на 6, пред­ста­ви­мо в виде 5k + 1. Зна­чит, сумма чисел, на­пи­сан­ных на доске, равна 1518  =  5m + n. Сле­до­ва­тель­но, n даёт оста­ток 3 при де­ле­нии на 5.

Пред­по­ло­жим, что Сумма три­на­дца­ти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 6, равна

Зна­чит, n <  13. сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что могло быть на­пи­са­но во­семь чисел. На­при­мер, сумма вось­ми чисел 6, 36, 66, 96, 126, 156, 186, 846 равна 1518.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  8.

Ре­ше­ние. Пусть сумма всех чисел в пер­вой груп­пе равна A, во вто­рой  — B, в тре­тьей  — C, и пусть ко­ли­че­ства чисел равны со­от­вет­ствен­но x, y и z. При­пи­сы­ва­ние цифры к числу уве­ли­чи­ва­ет его в 10 раз и при­бав­ля­ет эту цифру.

а)  Да, это воз­мож­но. На­при­мер, можно из чисел 2, 7, 3 сде­лать числа 26, 79, 3.

б)  Нет. Учи­ты­вая за­ме­ча­ние, сде­лан­ное в на­ча­ле ре­ше­ния, по­лу­чим урав­не­ние или что не­воз­мож­но, по­сколь­ку сумма чисел все­гда не мень­ше их ко­ли­че­ства, а сле­до­ва­тель­но, от­ку­да то есть Про­ти­во­ре­чие.

в)  Рас­смот­рим част­ное новой суммы и ста­рой:

Видно, что C долж­но быть сде­ла­но как можно мень­ше, по­это­му можно счи­тать, что в тре­тьей груп­пе лишь одно число (иначе пе­ре­не­сем одно из чисел из тре­тьей груп­пы во вто­рую). Ана­ло­гич­но при пе­ре­но­се числа из пер­вой груп­пы во вто­рую чис­ли­тель дроби уве­ли­чит­ся, а зна­ме­на­тель не из­ме­нит­ся. Зна­чит, и в пер­вой груп­пе долж­но быть лишь одно число. Далее, если число в тре­тьей груп­пе не ми­ни­маль­ное из всех, то его вы­год­но об­ме­нять ме­ста­ми с ми­ни­маль­ным (это не по­вли­я­ет на зна­ме­на­тель, но уве­ли­чит чис­ли­тель), а затем за­ме­нить на еди­ни­цу (это умень­шит зна­ме­на­тель и не из­ме­нит чис­ли­тель). Имеем:

При фик­си­ро­ван­ном y сле­ду­ет сде­лать зна­ме­на­тель дроби как можно мень­ше. Для этого на роль чисел, со­став­ля­ю­щих A и B, сле­ду­ет взять наи­мень­шие воз­мож­ные, то есть По­лу­чим:

Най­дем зна­че­ния по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния при раз­лич­ных y:

До­ка­жем, что при про­чих y ответ тоже будет мень­ше, чем 11,6. Для этого изу­чим по­ве­де­ние вто­ро­го сла­га­е­мо­го. Пусть Най­дем про­из­вод­ную:

При най­ден­ная про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, функ­ция f убы­ва­ет, а по­то­му при ее зна­че­ния мень­ше, чем зна­че­ние при

Итак, наи­боль­шее воз­мож­ное уве­ли­че­ние суммы со­став­ля­ет 11,6 ис­ход­ной ве­ли­чи­ны и до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, ко­то­рые пре­вра­ща­ют­ся в 1, 26, 39, 49, 59 с сум­мой

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  в 11,6 раза.

Ре­ше­ние. а)  Пусть на доске были на­пи­са­ны числа 1, 8 и 4, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 13, 87 и 4. При этом 1 + 8 + 4 = 13, 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13. Зна­чит, сумма уве­ли­чи­лась в 8 раз.

б)  Пусть в пер­вой груп­пе было m чисел, а их сумма рав­ня­лась А, во вто­рой груп­пе было n чисел, а их сумма рав­ня­лась B, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе рав­ня­лась C. Тогда сумма чисел была равна А + В + С, а стала 10A + 3m + 10B + 7n + С.

Пред­по­ло­жим, что сумма уве­ли­чи­лась в 17 раз. Тогда по­лу­ча­ем:

Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Рас­смот­рим от­но­ше­ние Q по­лу­чив­шей­ся суммы чисел и из­на­чаль­ной:

Если пе­ре­не­сти одно число из пер­вой или тре­тьей груп­пы во вто­рую, то А + В + С не из­ме­нит­ся, а 3m + 7n − 9C уве­ли­чит­ся. Зна­чит, от­но­ше­ние Q будет наи­боль­шим, если в пер­вой и тре­тьей груп­пах на­хо­дит­ся по од­но­му числу. По­это­му будем счи­тать, что m  =  1, а общее ко­ли­че­ство чисел равно n + 2. По­сколь­ку числа раз­лич­ные, по­лу­ча­ем Кроме того, Зна­чит,

Найдём, при каком зна­че­нии n вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние. Рас­смот­рим раз­ность

Зна­чит, при и при Таким об­ра­зом, f(n) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при n  =  4. Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что от­но­ше­ние Q могло рав­нять­ся Пусть было на­пи­са­но шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из ко­то­рых по­лу­чи­ли числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким об­ра­зом,

Ответ: а) да, 6) нет, в)

Ре­ше­ние. а)  Сред­няя масса трёх гирек рав­ня­лась 5 грам­мов, а после до­бав­ле­ния чет­вер­той стала равна 6 грам­мов. Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки равна 4 · 6 − 3 · 5  =  9 грам­мов, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку такая гирь­ка уже есть в кучке.

б)  Пусть в пер­вой куче было n гирек, а их сред­няя масса рав­ня­лась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней рав­ня­лась na г. После того, как из вто­рой кучи в первую пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k г, в пер­вой куче стало n + 1 гирек, их сред­няя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в пер­вой куче стала равна na + k г. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, число a целое и не может рав­нять­ся 7,5.

в)  Сумма масс n гирек не мень­ше сле­до­ва­тель­но, В первую кучу пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирь­ки не пре­вос­хо­дит 100 г, от­ку­да по­лу­ча­ем:

по­это­му от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние n не пре­вос­хо­дит 65. По­ка­жем, что могло быть 65 гирек. Если в пер­вой кучке ле­жа­ло 65 гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 65 г, и к ним до­ба­ви­ли гирь­ку мас­сой то сред­няя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число гирек в пер­вой куче равно 65.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.

Ре­ше­ние. а)  Из­на­чаль­но в пер­вой кучке сред­нее со­став­ля­ло Если после пе­ре­кла­ды­ва­ния оно стало равно 16 г, то масса кучки Зна­чит, до­бав­лен­ная гирь­ка была мас­сой что не­воз­мож­но, по­сколь­ку такая гирь­ка толь­ко одна.

б)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом 9,5n грам­мов. После пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала гирь­ка сум­мар­ным весом 10,5(n + 1) г. Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом   — не­це­лое число грам­мов.

в)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом xn г, а после пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала n + 1 гирь­ка сум­мар­ным весом Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом Нужно сде­лать n как можно боль­шим. За­ме­тим, что даже если вы­брать гирь­ки самой ма­лень­кой массы, n гирек будут ве­сить по­это­му Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки не мень­ше чем От­сю­да то есть

При­мер для 45 гирек те­перь легко по­стро­ить. Возь­мем в из­на­чаль­ный набор гирь­ки 1, 2, 3, ..., 45 грам­мов и до­ба­воч­ную гирь­ку мас­сой тогда все усло­вия будут вы­пол­не­ны: сред­няя масса 23 грам­ма вы­рос­ла до 24 грам­мов.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  45.

Ре­ше­ние. а)  Сред­няя масса трёх гирек рав­ня­лась 10 г, а после до­бав­ле­ния чет­вер­той стала равна 11 г. Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки равна 4 · 11 − 3 · 10  =  14 (г), что не­воз­мож­но, по­сколь­ку гирь­ка с такой мас­сой уже при­сут­ству­ет в пер­вой куче.

б)  Пусть в пер­вой куче было n гирек, а их сред­няя масса рав­ня­лась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней рав­ня­лась na г. После того, как из вто­рой кучи в первую пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k г, в пер­вой куче стало n + 1 гирек, их сред­няя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в пер­вой куче стала равна na + k г. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, число a целое и не может рав­нять­ся 8,5.

в)  Сумма масс n гирек не мень­ше сле­до­ва­тель­но, В первую кучу пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирь­ки не пре­вос­хо­дит 40 г, от­ку­да по­лу­ча­ем:

тогда то есть

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние n не пре­вос­хо­дит 25. По­ка­жем, что n может рав­нять­ся 25. Если в пер­вой куче ле­жа­ло 25 гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 25 г и к ним до­ба­ви­ли гирь­ку мас­сой 39 г, то сред­няя масса была равна 13 г, а стала равна 14 г. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число гирек в пер­вой куче равно 25.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 25.

Ре­ше­ние. а)  Пусть какая-⁠то де­воч­ка со­бра­ла мень­ше гри­бов, чем какой-⁠то маль­чик. До­ба­вим к ним пять дру­гих маль­чи­ков и трёх дру­гих де­во­чек. По­лу­ча­ем, что че­ты­ре де­воч­ки со­бра­ли мень­ше гри­бов, чем шесть маль­чи­ков, что про­ти­во­ре­чит усло­вию, по­сколь­ку любые две де­воч­ки со­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три маль­чи­ка.

б)  Пусть де­сять маль­чи­ков со­бра­ли 91, 92, ..., 100 гри­бов со­от­вет­ствен­но, а семь де­во­чек 149, 150 ..., 155 гри­бов. Тогда усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны.

в)  Пусть де­сять маль­чи­ков со­бра­ли гри­бов со­от­вет­ствен­но, а семь де­во­чек гри­бов. По усло­вию

По­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ана­ло­гич­но,

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, сум­мар­ное число гри­бов не мень­ше 10 · 5 + 7 · 8  =  106. Если де­сять маль­чи­ков со­бра­ли по 5 гри­бов, а семь де­во­чек по 8 гри­бов, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны, а сум­мар­ное число гри­бов равно 106. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее сум­мар­ное число гри­бов равно 106.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  106.

Ре­ше­ние. а)  Пусть в день с но­ме­ром k за­пи­са­но к чисел 3 и 12 − 2k чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна 12 + k. Таким об­ра­зом, n может быть рав­ным 6.

б)  Пусть n  =  4, в пер­вый день на доску за­пи­са­ли число 2 и две­на­дцать чисел 3, во вто­рой день  — две­на­дцать чисел 4, в тре­тий день  — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день  — де­сять чисел 5. Тогда сумма чисел в пер­вый день равна 38, во вто­рой  — 48, в тре­тий  — 49, а в четвёртый  — 50. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равно а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех за­пи­сан­ных чисел равно

в)  За­ме­тим, что в пер­вый день на доску было за­пи­са­но не более 6 чисел. Зна­чит, если n > 5, то в ше­стой день на доску было за­пи­са­но одно число. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку это число долж­но быть боль­ше суммы чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, рав­ной 6. Таким об­ра­зом,

Если n  =  5, то в пятый день на доску было за­пи­са­но не более двух чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 10. Зна­чит, суммы чисел, за­пи­сан­ных в четвёртый, тре­тий и вто­рой дни, не пре­вос­хо­дят 9, 8 и 7 со­от­вет­ствен­но, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 40.

Если n  =  4, то в четвёртый день на доску было за­пи­са­но не более трёх чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 15. Зна­чит, суммы чисел, за­пи­сан­ных в тре­тий и вто­рой дни, не пре­вос­хо­дят 14 и 13 со­от­вет­ствен­но, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 48.

Если n  =  3, то в тре­тий день на доску было за­пи­са­но не более четырёх чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 20. Зна­чит, сумма чисел, за­пи­сан­ных во вто­рой день, не пре­вос­хо­дит 19, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 45.

Если n  =  2, то во вто­рой день на доску было за­пи­са­но не более пяти чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 25. Зна­чит, сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 31.

Если n  =  1, то сумма всех за­пи­сан­ных чисел равна 6. Таким об­ра­зом, сумма всех за­пи­сан­ных чисел не пре­вос­хо­дит 48. По­ка­жем, что сумма всех за­пи­сан­ных чисел могла рав­нять­ся 48. Пусть n  =  4, и в пер­вый день быта за­пи­са­ны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1: во вто­рой  — 2, 2, 3, 3, 3: в тре­тий  — 3, 3, 4, 4; в четвёртый  — 5, 5, 5. Тогда суммы за­пи­сан­ных в эти дни чисел со­от­вет­ствен­но равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи, а их сумма равна 48.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  48.

Ре­ше­ние. а)  Пусть у детей было 16, 16, 4, 8 кон­фет со­от­вет­ствен­но (у двух маль­чи­ков было по 16 кон­фет), а стало 14, 16, 7, 7. Тогда усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но.

б)   За­ме­тим, что если два маль­чи­ка от­да­ли кон­фе­ты де­воч­кам, то у этих де­во­чек не могло ока­зать­ся оди­на­ко­вое число кон­фет, а если два маль­чи­ка от­да­ли кон­фе­ты маль­чи­кам, то у этих маль­чи­ков не могло ока­зать­ся раз­ное число кон­фет. Зна­чит, не может быть боль­ше двух маль­чи­ков, то есть маль­чи­ков ровно два и они стоят рядом. Таким об­ра­зом, маль­чи­ков не может быть боль­ше, чем де­во­чек, по­сколь­ку де­во­чек не мень­ше двух.

в)  Пусть у детей было 112, 112, 4. 40, 28, 32 кон­фет со­от­вет­ствен­но (у двух маль­чи­ков было по 112 кон­фет), а стало 92, 112, 31, 31, 31, 31. Тогда усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а сум­мар­но у детей 328 кон­фет.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  да.

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, они сто­я­ли че­ре­ду­ясь, у маль­чи­ков было по 36 кон­фет, а у де­во­чек 12 и 16. Тогда из ко­ли­честв 36, 12, 36, 16 могли по­лу­чить­ся 28, 21, 30, 21 так: 36 − 12 + 4, 12 − 3 + 12, 36 − 9 + 3 и 16 − 4 + 9.

б)  Да, на­при­мер, было 4 маль­чи­ка у каж­до­го по 12 кон­фет и две де­воч­ки, а сто­я­ли они так: 12, 12, 33, 12, 12, 28. После пе­ре­да­чи кон­фет у них стало 15, 13, 25, 20, 11, 25 кон­фет, и все усло­вия вы­пол­не­ны.

в)  До­пу­стим, это воз­мож­но. Тогда из де­ся­ти маль­чи­ков ми­ни­мум пять от­да­ли по­ров­ну кон­фет. Рас­смот­рим их бли­жай­ших со­се­дей спра­ва: как ми­ни­мум трое из этих со­се­дей од­но­го пола. Ми­ни­мум двое из этих троих от­да­ют оди­на­ко­вую часть кон­фет. Если это два маль­чи­ка, то они от­да­ли рав­ные доли своих кон­фет и по­лу­чи­ли оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кон­фет. Зна­чит, в итоге у них оста­лось по­ров­ну кон­фет, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Если это две де­воч­ки, то они от­да­ли рав­ные доли кон­фет и по­лу­чи­ли оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кон­фет, при­чем в итоге у них стало по­ров­ну кон­фет. Зна­чит, у них и было по­ров­ну кон­фет, что тоже не­воз­мож­но.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  нет.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, 166 + 6 + 1  =  173.

б)  Числа, мень­шие 109, за­пи­сан­ные дан­ны­ми циф­рам, суть 1, 6, 11, 16, 61, 66. Взять вме­сте 66 и 61 нель­зя, а если взять лишь одно из них, то наи­боль­шая воз­мож­ная сумма со­ста­вит 66 + 16 + 11 + 6 + 1  =  100 < 109.

в)  За­ме­тим, что все эти числа дают оста­ток 1 при де­ле­нии на 5. По­это­му для по­лу­че­ния суммы 1021, также да­ю­щей при де­ле­нии на 5 оста­ток 1, этих чисел может быть одно, шесть, один­на­дцать и так далее. Оче­вид­но, взять одно число нель­зя. Шесть чисел можно взять, на­при­мер, так: 666 + 166 + 161 + 16 + 11 + 1.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.