На счету Ма­ши­но­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на было 53 рубля, а после раз­го­во­ра с Леной оста­лось 8 руб­лей. Сколь­ко минут длил­ся раз­го­вор с Леной, если одна ми­ну­та раз­го­во­ра стоит 2 рубля 50 ко­пе­ек?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Пско­ве каж­дый день с 15 по 28 марта 1959 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какой была наи­боль­шая сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён круг. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Ма­ке­до­нии, 9 спортс­ме­нов из Сер­бии, 8 спортс­ме­нов из Хор­ва­тии и 10  — из Сло­ве­нии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен Най­ди­те АС.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой

Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB  =  5, AD  =  4, AA₁=3.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при

Груз мас­сой 0,02 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  16 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 6 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 101 км/ч, и через 20 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те k.

Ре­ши­те урав­не­ние:

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 6. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опи­са­на окруж­ность с цен­тром O. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что BAC + AKC  =  90°.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка OBKC, если а

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре S тыс руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся рав­ным S тыс. руб­лей;

− вы­пла­ты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. руб­лей;

− к июлю 2021 долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске окан­чи­вать­ся на 6?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, может быть за­пи­са­но на доске?