Пусть данное число равно где и — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено

а) Если частное равно то что верно, например, при частное числа и суммы его цифр равно

б) Если частное равно то Получаем: Значит, или Но ни ни не делится на Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным

в) Пусть — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного и суммы его цифр. Тогда

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек , а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: , откуда или Ясно, что , отсюда , то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

а) Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков равно

б) Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.

в) Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: мальчиков и девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится партий между мальчиками и партий между девочками. Всего партий в этом турнире будет , поэтому партий между мальчиками и девочками будет Пусть девочки набрали в этих партиях очков. (Например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно Общее количество очков, набранных мальчиками равно Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.

Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.

а) Пусть и Тогда

б) Предположим, что Тогда:

С другой стороны имеем: Следовательно, числа и разные знаки и, значит, левая и правая часть в последнем равенстве не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что и Значит, Отсюда, учитывая, что число целое, получаем, что Используя неравенства и получаем:

Пусть и Тогда Следовательно, наименьшее возможное значение дроби равно

Ответ: а) Да, например, если и б) нет; в)

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1,

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и Покажем, что никакое значение не реализуется.

Если x = y, то что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные. Пусть для определённости x < y и x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты и a < b. Получаем откуда 

Если то a = b, что невозможно.

Если то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда что невозможно.

Если то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда что невозможно.

Ответ: а) да; б) нет) в) 4.

а) Пусть a = 11, b = 30, c = 16 и d = 39. Тогда

б) Предположим, что Тогда

С другой стороны, имеем

Следовательно, числа и имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что и Значит, Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 19.

Используя неравенства

получаем

Пусть a = 96, b = 19, c = 81 и d = 10. Тогда Следовательно, наименьшее возможное значение дроби равно

Ответ: а) Да, например, если a = 11, b = 30, c = 16 и d = 39; б) нет; в)

а) Пусть a = 10, b = 20, c = 14 и d = 72. Тогда

б) Предположим, что Тогда

С другой стороны, имеем

Следовательно, числа и имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что и Значит, Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 24.

Используя неравенства

получаем

Пусть a = 97, b = 24, c = 71 и d = 10. Тогда Следовательно, наименьшее возможное значение дроби равно

Ответ: а) Да, например, если a = 10, b = 20, c = 14 и d = 72; б) нет; в)

а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что это возможно. Пусть — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d) = 9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d) = 9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.

Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2 , либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, так как по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.

Пусть — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.

В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b, т. е. b = c, — противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11 = c − b, т. е. 2(b − c) = 11, — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.

Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства находим и откуда получаем: и

Второй случай не реализуется, поскольку а

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.

а) Да, например,

б) Да, например,

в) Будем считать, что и умножим сразу обе части на abc. Получим Сразу заметим, что если все числа a, b, c больше четырех, то и равенство невозможно. Более того, если они все не меньше четырех, то равенство возможно лишь для что нас не устраивает. C другой стороны, ни одно из чисел, очевидно, не равно единице. Итак, среди чисел есть либо 2 либо 3. Мы можем считать, что это число-либо a, либо c. Теперь разберем варианты.

1) Получаем Это дает варианты (не годится, три шестерки),

2) Получаем Это дает варианты (не годится, две пары одинаковых чисел),

3) Получаем что невозможно.

4) Получаем Это дает варианты (и наоборот) и (не годится, две пары одинаковых чисел).

Выписывая ответ, заметим, что некоторые ответы получились дважды (с перестановкой цифр). Их выпишем только один раз.

Ответ:

Как известно, треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.

а) Да, например, в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено и

б) Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но

в) Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда и нужно минимизировать

Рассмотрим любую подходящую пару чисел и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему (к правой части прибавили а к левой ), (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было стало ). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.

Теперь будем просто уменьшать c пока это возможно, то есть пока Наименьшее такое c это 35. Поэтому ответ

Ответ: а) a = 13, b = 7, c = 8; б) нет; в)

а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.

б) Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 10. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(18, 9) = 9.

в) Числа 11, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причём четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.

Ответ: а) Да; б) нет; в) семь.

а) Да, например, Коля умножил на получив а Вова умножил на получив Модуль разности полученных произведений равен

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Колино произведение будет четным. Вовино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел и будет четным, таким образом, он не может быть равен

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Коля перемножал числа и а Вова ― числа и Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

Заметим, что так как С другой стороны, так как

Итак, но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться Тогда он не меньше так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Коля умножил четное число на а Вова умножил на Тогда модуль разности их произведений равен:

ввиду того, что ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.

а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.

б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.

в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.

Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.

Ответ: а) нет; б) да; в) 6.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что где и — некоторые натуральные числа. Значит,

Если то что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равна

в) Пусть — наименьшая из оценок, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность равна Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

Ответ: а) нет; б) да; в)

а) Пусть — число посетителей, проголосовавших за футболиста. Заметим, что рейтинг футболиста будет равен 38, если доля голосов, отданных за него, лежит в пределах от 37,5% до 38,5%. Таким образом, получаем двойное неравенство:

Число — целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале.

б) Пусть число проголосовавших равно 999. Из них за первого футболиста — 332 человека, за второго — 333, за третьего — 334. Тогда рейтинги каждого из них равны 33%.

в) Пусть — число голосов, отданных за футболиста, включая Васин голос, — общее число голосов. Заметим, что после того как Вася отдал свой голос за данного футболиста, доля голосов, отданных за этого футболиста увеличилась, а рейтинг нет, получаем:

Представляя в виде системы двух неравенств получим:

Так как — целое, то Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы получим:

Так как — целое, то Тогда из неравенства получаем:

Следовательно, Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в задаче равно 110.

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.

а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 1 000 000.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:

Так как и ― целые числа, то число 200 000 кратно числу

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна 937 500.

3) Число делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.

Каждое число однозначно представляется в виде где и Значит, для каждого представления некоторого числа в виде имеет место единственное представление в виде где и  — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число в виде равно числу способов записать число в виде

а) Для представления числа 1292 в виде в качестве можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.

б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.

в) Рассмотрим представление некоторого числа в виде где и  — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим в виде где  — цифра единиц числа а  — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

Найдём все числа представимые ровно 130 способами в виде где  — некоторое целое число от 0 до 9999, а — некоторое целое число от 0 до 999.

Пусть для некоторого числа представления и таковы, что — наименьшее возможное , а  — наибольшее возможное Тогда или иначе бы было представление Аналогично, или

Заметим, что для любого целого такого, что имеется представление поскольку Таким образом, количество представлений равно Если или то представлений больше. Значит, или или где  — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.

Ответ: а) 130; б) да; в) 20.

а) Например числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б) Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из 1 − a сотен, 9 − b десятков и 9 − c единиц. Суммы цифр этих чисел равны a + b + c и 19 − a − b − c соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

Получаем, что искомое число равно 110.

Ответ: а) да; б) нет; в) 110.

а) Примером таких чисел являются числа 6222 и 6219.

б) Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-либо два таких интересных числа. Пусть  — десятичная запись большего из них, а k — та из цифр a, b, c или d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна d − 1. Так как c ≠ 0, третья цифра этого числа равна c − 1.

Аналогично получаем, что вторая цифра этого числа равна b − 1. Наконец, первая цифра этого числа равна a. Значит, сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел на три меньше суммы чисел большего из них. Пришли к противоречию.

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры интересных четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5, и 7: число 2114 кратно 2 и 7, число 9135 кратно 3 и 5.

Пусть — десятичная запись какого-либо интересного числа, кратного 11. Тогда

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a, b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b + d = a + c, либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l — та из них, которая в паре с k. Пусть m и n — две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку k = l + m + n, имеем k + l > m + n. Значит, k + l = m + n + 11. Вычитая из этого равенства равенство k = l + m + n, получаем l = 11 − l . Следовательно, 2l = 11. Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, 6222 и 6219; б) нет; в) 11.

а) Разобьём множество {100, 101, 102, ..., 199} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку больше суммы всех остальных чисел:

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} не является хорошим.

Другое объяснение.

Одно из двух подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество, будет содержать число 2. Тогда сумма чисел в этом подмножестве будет кратна 2, но не кратна 4, а сумма чисел во втором подмножестве будет кратна 4. Тем самым, суммы чисел в подмножествах не равны, и исходное множестве не является хорошим.

Третье объяснение.

Полусумма всех чисел исходного множества нечетна, а все элементы четны, поэтому на два множества с нечетной суммой исходное множество не разбить.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Единственное подмножество множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удовлетворяющее первому случаю, — это {3; 4; 5; 12}. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх чисел, отличных от 3, 4 и 5, будет больше 12.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, нечетные числа 3 и 5 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 3 и 5 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 8 (что невозможно), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:

Если 3 и 5 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {4; 6; 8; 10; 12}. Получаем хорошие подмножества:

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

а) Разобьём множество {200, 201, 202, ..., 299} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку больше суммы всех остальных чисел:

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2¹⁰⁰} не является хорошим.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, четные числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6, это подмножество {1; 2; 4; 5}, либо разность двух других чисел равна 2, это подмножества:

Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {1; 5; 7; 9; 11}. Получаем хорошие подмножества:

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

а) Будем последовательно складывать числа, пока сумма не станет больше 90. Теперь удалим последнее добавленное число. Поскольку оно было не больше 10, сумма осталась больше 90 − 10 = 80. Утверждение верно.

б) Рассмотрим 11 чисел, равных 8,2. Их сумма равна 90,2 > 90. Если взять любые 10 из них, то сумма будет равна 82, а если взять меньше, чем 10 чисел, то сумма будет не больше Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.

в) Пусть в наборе найдутся 9 чисел, больших 9. Тогда их сумма больше 81, но не больше чем 90, и они являются искомыми.

Если в наборе 8 или меньше чисел, больших 9. Тогда их сумма меньше 80, и можно поступить как в пункте a): последовательно прибавлять к ним те, которые меньше 9, пока сумма не станет больше 90. После чего мы можем выкинуть из суммы последнее добавленное число. Сумма окажется меньше 90, но больше 81, поскольку вычеркнули число, меньшее 9.

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: а) да, б) нет, в) да.

а) Будем последовательно складывать числа, пока сумма не станет больше 110. Теперь удалим последнее добавленное число. Поскольку оно было не больше 11, сумма осталась больше 110 − 11 = 99. Утверждение верно.

б) Рассмотрим 12 чисел, равных 10,1. Их сумма равна 121,2 > 110. Если взять любые 11 из них, то сумма будет равна 111,1 > 110, а если взять меньше, чем 11 чисел, то сумма будет не больше Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.

в) Пусть в наборе найдутся 10 чисел, больших 10. Тогда их сумма больше 100, но не больше чем 110, и они являются искомыми.

Если в наборе 9 или меньше чисел, больших 10. Тогда их сумма меньше 99, и можно поступить как в пункте a): последовательно прибавлять к ним те, которые меньше 10, пока сумма не станет больше 110. После чего мы можем выкинуть из суммы последнее добавленное число. Сумма окажется меньше 110, но больше 100, поскольку вычеркнули число, меньшее 10.

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: а) да, б) нет, в) да.

а) Подходящим примером являются прогрессии и соответственно. Для этих прогрессий имеем: и

б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел или   не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо и , либо и , и, следовательно, Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем

Пришли к противоречию.

в)Обозначим через и разности арифметических прогрессий a₁, a₂, ..., a_n, ... и b₁,b₂, ..., b_n, ... соответственно. Из условия следует, что числа и натуральные, а и целые и не равные нулю. Имеем

Знаменатели дробей и положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа и имеют одинаковый знак, то есть либо , либо В обоих случаях получаем, что

Если прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... и b₁,b₂, ..., b_n, ... являются прогрессиями и соответственно, то и

Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби равно 2.

Ответ: а) Да, например, и соответственнно б)нет; в) 2.

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел противоречащее условию.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел:

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.

Примечание.

Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.

С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.

а) Например, (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19) или (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 17).

б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода — 3, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход равно 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов что больше 200.

в) Исходные числа 2 и 3 отличаются на 1 — имеют вид и Из них можно получить равные числа и что не разрешается, или числа, отличающиеся на 2: и Кроме того, если получать равные числа запрещено, то после нечетного хода всегда будет получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1007 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел рана 2. Покажем, что такую разницу получить возможно:

Тем самым, наименьшая разность, которую можно получить за 1007 ходов, равна 2.

Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.

а) 1-й ход (13, 14, 7), сумма 34.

2-й ход (12, 15, 6), сумма 33.

3-й ход (11, 16, 5), сумма 32.

4-й ход (10, 17, 4), сумма 31.

5-й ход (9, 18, 3), сумма 30.

б) Допустим, удалось сделать 10 ходов. Максимальные суммы, которые могли получится,

в) Добавим к пяти ходам пункта а) 6-й (8, 19, 2) сумма 29. Значит, 6 ходов сделать можно. Покажем, что 7 ходов сделать нельзя. Предположим, что мы сделали 7 ходов, использовав 21 число, причем получили максимальные возможные суммы 34, 33, ..., 28. Таким образом, минимальная возможная сумма оставшихся 9 чисел должна быть

При этом максимальная возможная сумма 9 чисел из набора получается, если сложить

Таким образом, получили противоречие, 7 ходов сделать нельзя.

Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6.

а) Например, частное числа 339 и произведения его цифр равно

б) Пусть это частное равно Тогда число делится на 25, а его две последние цифры равны 2 и 5 или 7 и 5. Но произведение цифр числа должно делится на 27. Ни 2, ни 5, ни 7 не делятся на 3, а первая цифра не больше 9. Значит, частное не может равняться

в) Рассмотрим два случая:

1. Если произведение цифр числа больше 27. Тогда число и произведение его цифр имеют общий делитель, больший 1, а частное числа и произведения его цифр не превосходят

2. Если произведение цифр числа равняется 27. Тогда число состоит из единиц, троек и девяток. Наибольшее такое число с произведением цифр 27 равняется 931. Частное этого числа и произведения его цифр равняется

Значит − это наибольшее значение, которое может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27

Ответ: а) например, 339; б) нет; в)

а) Например, числа 10, 11, 15.

б) В тупоугольном треугольнике сумма квадратов меньших сторон меньше квадрата большей стороны. Пусть — искомые числа. По условию Имеем:

Получили противоречие. Значит, такого быть не может.

в) По условию Тогда:

Чем больше a, тем меньше значение может принимать Поэтому необходимо найти наибольшее a. Пусть

Наименьшее значение равно

Ответ: а) Да, например, числа 10, 11 и 15; б) нет; в)

а) Например, число 17.

б) Если два числа дают одинаковых остаток при делении на 200, то их разность будет делиться на 200. Имеем:

Следовательно, делится на 25, откуда Тогда:

Таким образом, существует 36 чисел.

в) По условию — целое, поэтому m — четное, т.е. Имеем:

— целое, m — двузначное, поэтому

1) Пусть k = 25, тогда n может быть любым трехзначным нечетным числом, которых гораздо больше, чем 36.

2) Пусть но кратно пяти. Значит, (n + k) кратно 10. В зависимости от k подойдут либо все четные трехзначные числа, делящиеся на 5, либо нечетные, делящиеся на 5. В любом случае таких чисел больше 36.

3) Пусть k не кратно 5, k — нечетное, но сумма (n + k) кратна 50. Поскольку то (n + k) с учетом условия принимает все значения, кратные 50, причем на одно значение — одно значение m. Следовательно, для каждого k возможно 18n, что не подходит по условию задачи.

4) Пусть k не кратно 5, k — четное, и сумма (n + k) кратна 25. Рассуждая аналогично пункту 3) при и , возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. При и возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. В таблице представлены подходящие k и соответствующие им m. Их 18.

Ответ: а) 17; б) 36; в) 18.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + b + c + d) остаётся верным, без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5. Но тогда Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 5.

Тогда ab = 2(a + b + 10). Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо a, либо b делится на 2. Будем считать, что на 2 делится b.

Если b = 2, то a = a + 12, что невозможно. Если b = 4, то 2a = a + 14; a = 14, что невозможно.

Если b = 6, то 3a = a + 16; 2a = 16; a = 8. Число n = 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 8, то 4a = a + 18; 3a = 18; a = 6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

а) Да, может: 1 + 2 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39.

б) Среди данных чисел не больше одного чётного, иначе чётные числа будут иметь общий делитель, равный 2.

Если чётное число среди них ровно одно, то сумма всех шести чисел нечётна, и, тем самым, не равна 34. Следовательно, все шесть чисел должны быть нечётны. Найдём сумму первых шести нечётных чисел, не имеющих общих делителей: 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 40. Это число больше 34, тем самым, сумма не может быть равна 34.

в) Сумма первых пяти нечётных чисел равна 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Следовательно, меньше 2 + 25 = 27 сумма шести взаимно простых чисел быть не может. Но числа 3 и 9 имеют общий делитель 3, поэтому искомая сумма не равна 27.

Чтобы получить 28 необходимо либо складывать чётное число чётных чисел, либо все шесть чисел должны быть нечётными. Первое невозможно, поскольку в наборе не более одного чётного числа. Второе невозможно, поскольку сумма первых шести нечётных чисел равна 36.

Числа 1, 2, 3, 5, 7 и 11 взаимно простые и в сумме дают 29. Это и есть искомый набор.

Ответ: а) да, б) нет, в) 29.

а) Примером таких чисел являются

б) Предположим, что это возможно. Пусть — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо , либо Отсюда получаем, что , либо Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Также из условия следует, что либо , либо Отсюда получаем, что либо , либо Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, так как по условию

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример очень счастливого четырёхзначного числа, кратного Число 1890 кратно

Пусть — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

Получаем, что число кратно 11. Поскольку и — цифры, отсюда следует, что либо , либо , либо

В первом случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем: , т. е. — противоречие. Во втором случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем , т. е. , — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, ; б) нет; в) 11.

а) Число 199 простое, поэтому разбить исходное множество на два подмножества с одинаковым произведением чисел невозможно: одно из произведений будет делиться на 199, другое нет.

б) Разобьём множество {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} на два множества стоэлементных множества следующим образом:

Произведение чисел в этих двух подмножествах одинаковы и равны (2²⁰¹)⁵⁰, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

в) Простые числа 5, 7 и 11 не могут входит в хорошие подмножества (аналогично п. а)). Поэтому хорошие четырёхэлементные множества можно составлять только из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осуществим перебор. Непосредственной проверкой убеждаемся, что к числу 1 в пару можно взять только число 12; находим множество {1; 12; 3; 4}. Из оставшихся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять только число 12; находим множество {3; 12; 4; 9}. Остаются числа 4; 6; 9; 12, они не образуют хорошее множество. Других вариантов нет.

Ответ: а) нет; б) да; в) 2.

а) Да, например,

б) Пусть уравнение имеет корень −53. Тогда откуда а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем откуда Если то поэтому Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное  целое  число,  меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) да, например, б) нет; в) –50.

а) Да, например,

б) Пусть уравнение имеет корень 135. Тогда откуда а значит, число с кратно 135. Среди натуральных чисел, не больших 200, такое число только одно: Подставляя в (*) вместо с число 135 и сокращая на 135, получаем откуда Если то поэтому Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число 135.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, больший 100. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число 135 на произвольное целое число, большее 100, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный 100, у данного уравнения быть может: уравнение имеет корень 100 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) да, например, б) нет; в) 100.

а) Площадь многоугольника M равна Например, это может быть прямоугольник

б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны Пусть n — число вершин многоугольника М. Тогда откуда значит, многоугольник М — четырёхугольник,все углы которого равны  т. е. прямоугольник. Тем самым, многоугольник М имеет 4 стороны.

в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть и — длины сторон прямоугольника Тогда а периметр прямоугольника М равен Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел и их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, т. е. чем меньше величина Действительно, пусть и Тогда откуда и, следовательно,

Можно считать, что В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение достигается при Периметр такого прямоугольника равен 144.

Другое решение пункта в):

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда а периметр прямоугольника М равен , где a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию на отрезке [1; 1292]. Её производная: Так как на рассматриваемом отрезке при , при и при , своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке

Поскольку , число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что и ближайшие слева и справа к натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку , наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

Ответ: а) Прямоугольник в) 2586; 144.

Пусть Дима задумал цифру х, а Никита — цифру у. Не теряя общности, можно положить Тогда Маша вычисляла произведение Кроме того, множители не равны нулю, и, значит,

а) Уравнение не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.

б) Уравнение также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.

в) Уравнение запишем в виде

Заметим, что если из чисел x, y, и хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а, следовательно, он делится и на 9. Кроме того, так как 7 ― простое число, один из сомножителей левой части делится на 7.

Поскольку , множители y и не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится либо , либо х. Рассмотрим эти варианты.

Если делится на 9, то , так как В этом случае для делимости на 7 либо (тогда , ― не подходит), либо ( ― не подходит).

Если же , то для делимости на 7 либо (подходит), либо (откуда ― не подходит), либо (откуда ― не подходит).

Тем самым, только пара является решением.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да, 9 и 7.

а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 2 и на 6, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2454.

б) Пусть на доске ровно одно число, оканчивающееся на 6. Тогда на доске написано 29 чисел, оканчивающихся на 2. Их сумма не меньше, чем сумма 29 написанных чисел, оканчивающихся на 2: Это противоречит тому, что сумма равна 2454.

в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 6 и 30 − n, оканчивающихся на 2. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 2, не меньше суммы

Сумма чисел, оканчивающихся на 6, не меньше суммы

Таким образом, откуда так как

Если на доске 10 чисел, оканчивающаяся на 6, и 20 чисел, оканчивающихся на 2, то их сумма оканчивается на 0. Значит, чисел, оканчивающихся на 6, больше 10. Приведём пример 11 чисел, оканчивающихся на 6, и 19 чисел, оканчивающихся на 2, с суммой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.

а) Например, из числа 2847 получается 2108124117.

б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 37494128 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в) Пусть изначальное трехзначное число равно где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если и а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если то полученное число будет равно

Знакочередующая сумма цифр полученного числа равна

При получившееся число будет больше, чем при любом другом a, вне зависимости от b и c. В этом случае делится на 11 только при и любом c. При и максимальное число получится для

Таким образом, максимальное число получается из числа 979 и равно 9167169.

Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169.

а) Да. Например, если числа расставить так, как показано в таблице, приведенной ниже слева, Петя получит 12, а Вася — 6.

б) Наименьшая сумма, которая может получиться у Васи, равна 6. Чтобы у Пети было в 6 раз больше, его сумма должна равняться 36. Для этого в каждой строке все числа должны быть равны 6. Но тогда Вася не получит в сумме 6. Противоречие.

в) Для таблицы 2, приведенной ниже справа, Петя получит 31, а Вася — 6. Тем самым, у Пети в раза больше, чем у Васи. Покажем, что большего отношения получить невозможно. Действительно, для любой заданной таблицы чисел достичь наибольшего отношения сумм наименьших по строкам и столбцам элементов можно, преобразовав ее следующим образом:

1) записать строки в порядке убывания (невозрастания) наименьших элементов в них;

2) затем внутри каждого из столбцов заменить элементы более высоких строк на большие элементы из нижних строк. При этом наименьшие элементы в каждой из строк не уменьшаются, а наименьшие элементы в каждом из столбцов не меняются (*).

В результате ходов 1) и 2) любая исходная таблица преобразуется в таблицу, где внутри каждого из столбцов элементы записаны в порядке неубывания. В силу (*) отношение сумм наименьших по строкам и столбцам элементов для полученной таблицы максимально. Следовательно, наибольшее отношение будет достигнуто для таблицы, в которой элементы каждой строки, кроме последней, максимальны (т. е. равны 6), а последней — минимальны (т. е. равны 1).

Приведём другое решение.

а) Да. Заполним, например, первую строку таблицы единицами, вторую тройками, а остальные — двойками. Тогда сумма у Васи будет 6, а у Пети 12.

б) Нет. Васина сумма не меньше 6, а Петина не больше 36, поэтому они могут отличаться в 6 раз только если равны 6 и 36, то есть все Петины числа — шестерки. Значит, все числа во всех строках равны шести, и Васина сумма тоже равна 36.

в) Если занять первую строку единицами, а остальные строки шестерками, то у Пети получится сумма 31, то есть отличаться они будут в раза.

Если у Васи сумма не равна 6, то отличие не более чем в поэтому такие варианты не подходят. Если же Васина сумма равна 6, то в таблице обязательно есть число 1. Петя выберет его как наименьшее в какой-то строке и общая сумма будет не больше поэтому приведенный нами ответ оптимальный.

Ответ: а) да; б) нет; в)

а) Например, из числа 7814236 получается каждое из чисел: 123, 426, 786.

б) В перечисленных числах встречаются все цифры от 1 до 9, значит, каждая из этих цифр должна присутствовать в девятизначном числе по одному разу. Тогда 3 должна следовать в записи после 1, 5 — после 3, 7 — после 5, 1 — после 7. Таким образом, единица должна следовать в записи после самой себя, что невозможно.

в) Заметим, что из искомого числа должны получаться числа 11, 22 и 33, поэтому в его записи должны присутствовать не менее двух единиц, двух двоек и двух троек и каждая из остальных цифр. То есть в нём должно быть не меньше 13 цифр.

Тринадцатизначное число 1231234056789 удовлетворяет условию задачи.

Покажем, что не существует меньше числа, удовлетворяющего условию задачи. Для каждого разряда числа, начиная от старшего, будем выбирать наименьшую возможную цифру.

Первая цифра не может быть меньше 1. Заметим, что ноль должен идти после четвёрки, поскольку иначе нельзя получить число 40, между двумя единицами должны быть двойка и тройка, поскольку иначе нельзя получить числа 21 и 31, поэтому вторая цифра должна быть 2. Между двумя двойками должна быть тройка, поскольку иначе нельзя получить число 32, поэтому третья цифра должна быть 3. Далее можно использовать по порядку наименьшие оставшиеся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не появится четвёрка. После неё должен идти ноль, а затем оставшиеся цифры в порядке возрастания.

Ответ: а) Например, 7814236; б) нет; в) 1231234056789.

a) Пусть число уменьшили на 2. Тогда его уменьшили на . Следовательно, Так как для всех , то и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.

б) Рассмотрим два числа: 50 и 150. Если число 50 уменьшить на 2 (т. е. на 4%), а число 150 уменьшить на 2% (то есть на 3), то и Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем

в) Пусть чисел из 30 уменьшили на 2, а остальные уменьшили на . Так как каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 ( от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех 30-и чисел уменьшили по крайней мере на . По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, , откуда .

Напомним, что если число уменьшили на 2, то его уменьшили на ; и так как , то Значит,

Приведём пример набора из 30 чисел, для которого среднее арифметическое чисел равно . Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 (т. е. на ), а каждое из оставшихся 20-ти чисел уменьшили на . Тогда

Ответ: а) нет; б) да; в) .

а) Да, является: 1243 делится на 11.

Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.

б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит , что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.

в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через , а сумму цифр, стоящих на четных местах – через . Тогда , а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.

Заметим также, что , так как . Пусть , тогда одно из чисел a и b, равно 7, а второе ― 18, (поскольку их сумма равна 25). Но 7 нельзя представить, ни в виде суммы двух, ни в виде суммы трёх нечетных чисел, значит данный случай невозможен.

Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.

Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.

а) Поскольку число лежит в отрезке длина которого равна Следовательно, расстояние от до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Тем самым, искомые числа существуют.

Примечание.

Заметим, что лежит правее точки 1,41 — середины отрезка Поэтому, Следовательно, числа 71 и 50 являются искомым примером.

Приведем другое решение пункта а).

а) Заметим, что из неравенства следует, что

а значит, откуда

Пусть, например, тогда Следовательно, двузначные числа и удовлетворяют исходному неравенству.

б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство Тогда

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

откуда Следовательно, Противоречие.

Приведем другое решение пункта б).

Умножим обе части неравенства на получим

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

откуда Следовательно, Противоречие.

в) С увеличением n значение выражения уменьшается. Так как при значение выражения больше , при — меньше и значение равно расстоянию от до наименьшее значение это выражение принимает при или

При получаем:

а при получаем

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение принимает при

Приведем решение Евгения Обухова (Москва)

а) Нас спрашивают про хорошее приближение числа рациональной дробью, состоящей из двузначных чисел. Искать его следует среди подходящих дробей. Хорошо известно (и легко выводится) представление числа в виде бесконечной цепной дроби:

Найдём момент, когда подходящая дробь состоит из двузначных чисел:

Такого приближения, конечно, хватит в виду известной теоремы (подходящие дроби "хорошо приближают":):

(В принципе, требуемое неравенство легко проверяется и непосредственно, поскольку для корня из двух первые две цифры после запятой хорошо известны: , а то, что проверяется делением в столбик за несколько секунд.)

в) Требуется минимизировать выражение . Снова рассматриваем разложение приближаемого числа в цепную дробь (которое легко получается из приведённого ранее разложения переносом единицы из правой части в левую):

Заметим, что уже одна из первых подходящих дробей нас вполне устраивает:

Имеем: , это как раз нужный нам числитель. А т.к. подходящие дроби в принципе приближают очень хорошо, то можно надеяться, что нужное нам найдено (). И это действительно, очевидно, так:

То есть дробь находится весьма близко к числу . И ясно, что оставшиеся наиболее близкие дроби (из доступных нам, с числителем ): и находятся от числа дальше.

(В частности, это можно проверить непосредственно: , и т.к. , то дробь выпадет из окрестности , в которой дробь , в свою очередь, находится. Аналогично с дробью , там соответствующая разность , очевидно, ещё больше.)

б) Предположим, что такие и существует. Тогда с помощью формулы разности квадратов преобразуем данное в условии неравенство в привычный нам вид:

То есть дробь обязана быть очень близкой к , поэтому оценку можно легко улучшить вдвое:

(Т.к., напомним, .)

Последнее неравенство означает, что дробь — подходящая дробь числа (по теореме о том, что из неравенства следует, что несократимая дробь является подходящей дробью числа ).

Т. к. подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, то в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:

Осталось убедиться, что неравенство не выполняется, что приводит к противоречию. Это легко делается на "калькуляторе".

Можно, впрочем, обойтись и без "калькулятора". Приблизим корень из двух более хорошей подходящей дробью. Скажем, дроби хватит, т.к. . Вычисления в столбик довольно быстро дают нам десятичные представления: , , то есть довольно значимое различие на как раз пятом знаке после запятой (). Имеем (с помощью неравенства треугольника):

Что и требовалось для получения противоречия.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA, а значит, после перехода одного учащегося в школу № 2, суммарный балл стал равен Таким образом, суммарный балл уменьшился на что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а

б) Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

или

Если то поскольку число должно делиться на 10, а не должно быть отрицательным. Получаем что невозможно, поскольку A целое.

в) Заметим, что если то или В первом случае а во втором Значит, ни один из этих случае не возможен.

При получаем откуда Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

а) Приведем пример такой суммы: .

б) Приведем пример такой суммы: .

в) Пусть m = dp, n = dq, где d — наибольший общий делитель чисел m и n. Тогда . Числа p, q и p + q попарно взаимно простые, поэтому числа p и q являются взаимно простыми делителями числа 14. Получаем следующие варианты:

Ответ:

а) Да, например, ;

б) Да, например, ;

в) 28 и 28, 21 и 42, 16 и 112, 15 и 210, 18 и 63.

а) Пусть в школе № 1 писали тест два учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 10 раз.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а прошедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

При B = 5 и m = 3 получаем u = 3 и A = 2. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 3 балла.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

а) Пусть в школе № 1 писали тест два учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 3 балла и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 2 раза.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

При B = 6 и m = 24 получаем u = 3 и A = 2. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 26 учащихся, 13 из них набрали по 1 баллу, а 13 — по 3 баллов, в школе № 2 писали тест 24 учащихся и каждый набрал по 6 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 3 балла.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

а) Пусть в школе №1 писали тест n учащихся. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся 18n , а после перехода одного учащегося в школу №2 суммарный балл стал равняться 19,8(n − 1). Таким образом, суммарный балл уменьшился на 1,8(11 − n). Это число должно быть натуральным, поскольку равняется количеству баллов перешедшего в школу №2 учащегося. Значит, этот учащийся набрал 9 баллов и n = 6.

б) В школе №1 тест писали 6 учащихся, один из которых набрал 9 баллов. При этом суммарно они набрали 108 баллов. Значит, наибольшее количество баллов у учащегося с лучшим результатом могло быть тогда, когда сумма

баллов остальных пяти учащихся была наименьшей, то есть когда они набрали 1, 2, 3, 4 и 9 баллов. В этом случае наибольший балл равен 89.

в) Пусть в школе №2 писали тест m учащихся, а средний балл равнялся B. Тогда получаем:

Таким образом, число 90 должно делиться на m + 11. При этом m + 11 > 21, поскольку m > 10. Число 90 имеет 3 делителя, больших 21: 30, 45 и 90. Значит, m + 11 ≥ 30, откуда m ≥ 19.

Покажем, что число m может равняться 19. Этот случай реализуется, например, если в школе №1 писали тест 6 учащихся, один учащийся набрал 9 баллов, один учащийся набрал 27 баллов и 4 учащихся набрали по 18 баллов, в школе №2 писали тест 19 учащихся и каждый набрал по 3 балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 9 баллов.

Ответ: а) 6; б) 89; в) 19.

а) Заметим, что при прохождении уровня игры заряд аккумулятора уменьшается на число пунктов, делящееся на 3. Значит, он не мог уменьшиться ровно на 32 пункта.

б) Обозначим количества уровней, за которые были получены одна, две или три звезды через a, b и c соответственно. Тогда получаем: и откуда То есть было пройдено 7 уровней.

в) Из уравнений и получаем, что Значит, имеются три возможности: или

Если то и было получено 47 000 очков.

Если то и было получено 48 000 очков.

Если то и было получено 49 000 очков.

Значит, наибольшее количество полученных очков равно 49 000.

Ответ: а) нет; б) 7; в) 49 000.

а) Например, если из числа 123456789 вычеркнуть цифры 2, 7 и 9, то получится число 134568, кратное 72.

б) Предположим, что можно вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72.

Если число кратно 72, то оно чётное. Значит, цифры 7, 5, 3 и 1 должны быть вычеркнуты. Получается число 84692. Оно не кратно 72, поэтому из него надо вычеркнуть цифры так. чтобы получилось число, кратное 72. Значит, сумма оставшихся цифр должна делиться на 9, то есть сумма вычеркнутых цифр должна быть равна 2, 11 или 20. Это возможно, только если вычеркнуть или 2, или 2 и 9, или 2, 4. 6 и 8. Ни одно из получающихся чисел: 8469, 846. 9 — не делится на 72.

в) Заметим, что все цифры числа 124875963 различны и не равны нулю.

Если вычеркнуть из исходного числа 8 или 7 цифр, то получится число, меньшее 100. Среди таких чисел только 72 делится на 72, но его нельзя получить при вычёркивании цифр из исходного числа.

Если вычеркнуть из исходного числа 6 цифр, то получится трёхзначное число. Среди трёхзначных чисел, все цифры в которых различны и нс равны нулю, на 72 делятся только следующие: 216, 432, 576, 648, 792, 864, 936. Ни одно из них нс получается при вычёркивании из числа 124875963 нескольких цифр.

Значит, нельзя вычеркнуть более 5 цифр так, чтобы получившееся число было кратно 72. Пять цифр вычеркнуть можно. Например, если вычеркнуть цифры 4, 8. 7, 5 и 3. то получится число 1296, кратное 72.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 10 раз.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

Если то не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это невозможно, поскольку

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

Заметим, что если или то не делится на 10. Если или то В первом случае а во втором Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При и получаем и Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося — 3 балла.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Пусть данное число равно где и — цифры сотен, десятков и единиц соответственно.

а) Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено равенство Можно взять, например, число

б) Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено равенство Равенства и невозможны, поскольку не делится на или Значит, в числе нет нулей, но тогда

в) Пусть — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного и суммы его цифр. Тогда

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

Сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

а) Если число 5 стоит на последнем месте, то сумма предыдущих чисел равна 86. Но 86 не делится на 5. Противоречие.

б) Пусть на последнем месте стоит число х. Тогда сумма всех предыдущих чисел равна 91 − х, и, по условию, она делится на х. Следовательно, откуда

где k — натуральное число. Полученная дробь сократима, только если знаменатель равен 1, 7, 13 или 91, тогда дробь равна 91, 13, 7 или 1 соответственно. Поскольку x не больше 13, заключаем, что на последнем месте могут стоять только числа 13, 7 или 1. Осталось проверить, что оставшиеся числа можно расставить в соответствии с требованиями условия.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 1: 12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 7: 9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 13: 11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13.

в) На третьем месте может быть шесть четных чисел. Приведем примеры соответствующих расстановок:

Ответ: а) нет, б) 1, 7 или 13, в) шесть.

а) 105; 3; 35; 21; 5.

б) Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа 300. Поскольку делителей всего включая 1 и 300. Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться 300, поэтому рядом с числом 1 может стоять только 300 и число 1 не может находиться в круге. Среди делителей числа 300 есть 6 делителей, кратных 2 и не кратных 4, 6 делителей, кратных 5 и не кратных 25, и 2 делителя, кратных 10 и не кратных 100. Поэтому 10 чисел среди делителей числа 300 кратны 2 или 5 и не кратны их квадратам. Среди 8 чисел, выписанных в круг, не будет числа 1, поэтому там будет хотя бы одно число, кратное 2 или 5 и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу (2 или 5), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше 1.

в) Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа 60. У числа всего 12 делителей, считая 60 и 1. Среди этих делителей есть простое число 2, на квадрат которого делится 60. Рядом с числом 2 может стоять только число 60, чтобы их наименьшее общее кратное равнялось 60 (число, стоящее рядом с 2, должно делиться и на 4, и на 3, и на 5), поэтому число 2 не может быть написано. Рядом с числами 5 и 10 могут быть написаны только числа 12 и 60, поэтому если в круге больше 4 чисел, то 5 и 10 не могут одновременно находиться в круге. Аналогично 3 и 6 не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа 20 и 60. Значит, всего может быть выписано в круг не более 8 чисел. Пример чисел 60; 6; 20; 30; 4; 15; 12; 10 показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно 8.

Ответ: а) Например, 105; 3; 35; 21; 5; б) нет; в) 8.