Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено

а) Если частное равно то что верно, например, при  — частное числа и суммы его цифр равно

б) Если частное равно то Так как a < 10, то или В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного и суммы его цифр. Тогда

Учитывая, что получаем:

откуда

Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек d, а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: откуда или Ясно, что отсюда то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

а) Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков равно

б) Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.

в) Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: d мальчиков и d девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится партий между мальчиками и партий между девочками. Всего партий в этом турнире будет поэтому партий между мальчиками и девочками будет Пусть девочки набрали в этих партиях очков. (Например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно Общее количество очков, набранных мальчиками равно Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.

Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.

а) Пусть и Тогда

б) Предположим, что Тогда:

С другой стороны имеем: Следовательно, числа и разные знаки и, значит, левая и правая часть в последнем равенстве не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что и Значит, Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что Используя неравенства и получаем:

Пусть и Тогда Следовательно, наименьшее возможное значение дроби равно

Ответ: а) Да, например, если и б) нет; в)

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1,

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и Покажем, что никакое значение не реализуется.

Если x = y, то что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные. Пусть x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты. Получаем откуда 

Если то a = b, что невозможно.

Если то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда что невозможно, или a = 2, b = 1 и, значит, x = 2y, откуда что также невозможно.

Если то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда что невозможно, или a = 3, b = 1 и, значит, x = 3y, откуда что также невозможно.

Ответ: а) да; б) нет) в) 4.