Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 502058

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Спрятать решение

Решение.

Пусть данное число равно 100a плюс 10b плюс c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 100 a плюс 10b плюс с = kа плюс kb плюс kc.

а) Если k=82, то 100a плюс 10b плюс с = 82a плюс 82b плюс 82c равносильно 18a = 72b плюс 81c, что верно, например, при с = 0,~ a=4, ~b=1. Частное числа 410 и суммы его цифр равно 82.

б) Если k=83, то 100a плюс 10b плюс c=83a плюс 83b плюс 83c равносильно 17a= 73b плюс 82c. Если a=9,b=1,c=1 то 17a=153 меньше 73b плюс 82c=155. Значит, a меньше 9 и b = 0, с = 1 или b=1, с = 0. Но ни 73, ни 82 не делится на 17. Значит, частное трехзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 83.

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100 и суммы его цифр. Тогда 100a плюс 10b плюс c = ka плюс kb плюс kc равносильно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a = левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c. Учитывая, что b плюс c больше 0, получаем:

9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a = левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c больше или равно левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка больше или равно k минус 10, то есть 9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно k минус 10 равносильно \enskip 10k меньше или равно 910 равносильно k\leqslant91.

Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502027: 521670 502058 503325 503365 511370 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Числа и их свойства