а)  Для чисел x  =  17 и y  =  10 вы­пол­ня­ет­ся усло­вие 3x  =  8y −29, q  =  170, d  =  1,

б)  и в) При x  =  1 и y  =  4 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство 3x  =  8y − 29 и По­ка­жем, что ни­ка­кое зна­че­ние не ре­а­ли­зу­ет­ся.

Если x  =  y, то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку числа x и y  — на­ту­раль­ные. Пусть x  =  ad, a y  =  bd. Тогда на­ту­раль­ные числа a и b вза­им­но про­сты. По­лу­ча­ем от­ку­да 

Если то a  =  b, что не­воз­мож­но.

Если то a  =  1, b  =  2 и, зна­чит, y  =  2x, от­ку­да что не­воз­мож­но, или a  =  2, b  =  1 и, зна­чит, x  =  2y, от­ку­да что также не­воз­мож­но.

Если то a  =  1, b  =  3 и, зна­чит, y  =  3x, от­ку­да что не­воз­мож­но, или a  =  3, b  =  1 и, зна­чит, x  =  3y, от­ку­да что также не­воз­мож­но.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

а)  Для чисел и вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

б, в) При и вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство и По­ка­жем, что ни­ка­кое зна­че­ние мень­шее 5, не ре­а­ли­зу­ет­ся. Дей­стви­тель­но, пусть а где a и b  — на­ту­раль­ные числа с наи­боль­шим общим де­ли­те­лем 1. Тогда и Рас­смот­рим че­ты­ре воз­мож­но­сти.

Если то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку x и y  — на­ту­раль­ные числа.

Если то воз­мож­ны два слу­чая:

     а) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

     б) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

Если то воз­мож­ны два слу­чая:

     а) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

     б) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

Если то воз­мож­ны два слу­чая:

     а) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

     б) то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

При­ве­дем ре­ше­ние Сер­гея Ни­ко­ла­е­ва для пунк­тов б) и в).

За­пи­шем ра­вен­ство в виде 7x − 16y  =  73. Если d  =  НОД(x, y), то левая часть де­лит­ся на d, тогда и пра­вая часть долж­на де­лить­ся на d. Но число 73 де­лит­ся толь­ко на 1 и 73, сле­до­ва­тель­но, d  =  1 или  d = 73.

Пусть d  =  1, тогда q  =  xy.

Умно­жив обе части ис­ход­но­го ра­вен­ства на y, по­лу­чим:

Пра­вая часть от­ри­ца­тель­на при y ≤ 4.

Сле­до­ва­тель­но, y ≥ 5, тогда q ≥ 5 и

Пусть d  =  73, тогда x  =  73a и y  =  73b, где a и b -- вза­им­но про­стые числа. За­ме­тим, что

Раз­де­лив ис­ход­ное ра­вен­ство на 73, по­лу­чим 7a  =  16b − 1.

При этом НОД(a, b)  =  1. Под­ста­вив b  =  1, 2, 3 в ра­вен­ство, убе­дим­ся, что пра­вая часть не де­лит­ся на 7. При b  =  4 пра­вая часть де­лит­ся на 7, и a  =  9, сле­до­ва­тель­но, ab  =  36. При боль­ших зна­че­ни­ях b по­лу­чим боль­шие зна­че­ния ab.

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние

По­ка­жем, что оно может быть равно 5. При и вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство и

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние равно 5.

а)  Для чисел и вы­пол­ня­ет­ся усло­вие

б)  и в) При и вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство и

По­ка­жем, что ни­ка­кое зна­че­ние мень­шее 4, не ре­а­ли­зу­ет­ся.

Пусть а где a и b  — на­ту­раль­ные числа с наи­боль­шим общим де­ли­те­лем 1.

Тогда и

Если то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку x и y  — на­ту­раль­ные числа.

Если то воз­мож­ны два слу­чая:

1)   то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

2)   то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

Если то воз­мож­ны два слу­чая:

1)   то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

2)   то есть от­ку­да что не­воз­мож­но.

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.