СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 507244

В тур­ни­ре по шах­ма­там принимают уча­стие мальчики и девочки. За по­бе­ду в шах­мат­ной партии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. По пра­ви­лам турнира каж­дый участник иг­ра­ет с каж­дым другим дважды.

а) Ка­ко­во наибольшее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если в тур­ни­ре принимают уча­стие пять маль­чи­ков и три девочки?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если всего участ­ни­ков девять?

в) Сколь­ко девочек могло при­ни­мать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что маль­чи­ки набрали в сумме ровно в четыре раза боль­ше очков, чем девочки?

Решение.

а) Каждая из трёх девочек могла выиграть оба раза у всех пяти мальчиков, получив по 10 очков; итого 30 очков. Сыграв шесть партий друг с другом, три девочки распределили между собой ещё 6 очков. Всего 36 очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, девять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 72 очка.

в) Пусть в турнире принимали участие d девочек. Тогда всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков четыре пятых, а у девочек — одна пятая общего количества очков, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было девятеро. Десять ребят 90 партий и разыграли 72 очка. Девочка набрала 18 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 72 очка.

 

Ответ: а) 36; б) 72; в) 1.


Аналоги к заданию № 505570: 508112 507244 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства