Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Решение. а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность, и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция, и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) Поскольку AK — касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем:
Аналогично находим 
откуда 
и тогда 
Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда
Таким образом, 
Ответ:
Замечание.
Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могут привести более короткое решение, сразу написав 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
Заметим, что 
опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Более того, 
следовательно, CB параллельно FA. Тогда четырехугольник FCBA — вписанная в окружность трапеция, что означает, что она равнобедренная. Поэтому 
Следовательно, 
и CF параллельно BE, ведь соответственные углы 
и 
равны. Таким образом, четырехугольник BCFE — параллелограмм.
Заметим, что 
как вертикальные и 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник CFE — равнобедренный, 
Найдем катет BH по теореме Пифагора, он равен 
Найдем DH по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:
(площадь дельтоида) 
как накрест лежащие.
Следовательно, 
Тогда
из равенства 
находим, что 
Следовательно, 
По теореме синусов для треугольника ABC находим: 
откуда
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Значит, 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит, 
а из треугольника BOF получаем, что 
Тогда высота трапеции 
а 
— перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH2 — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию AD = PC, DH2 = PH1, следовательно, треугольники ADH2 и СPH1 равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.
получим, что треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,
Из отношения 
найдем, что 
Вычислим площадь трапеции ABCD:
где h — высота трапеции. Поскольку 
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Значит, 
Тогда
а значит, KBMH — прямоугольник, 
Вписанный угол CBM прямой, значит, CM — диаметр окружности. Медиана AO делит треугольник ACM на два треугольника равной площади,
если 
по теореме Пифагора в треугольнике ABC и 
по теореме Пифагора в треугольнике ABD.
поэтому точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Из равенства углов BAC и CAD следует равенство дуг, на которые они опираются. Равные дуги стягиваются равными хордами BC и CD, что и требовалось доказать.
как опирающиеся на одну дугу. Из условия следует, что
Из треугольника BTC найдем 
откуда и следует ответ.
как вписанные. Следовательно, 
поскольку 
откуда 
Четырехугольник ABEC — равнобокая трапеция, значит, 
следовательно,
и 
Тогда:
На его стороне BC вне треугольника (точки A и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC) построим равносторонний треугольник BCD.
Треугольник BCD равносторонний, в нем угол BDC равен 60°. Тогда 
а потому четырехугольник ABDC вписан в окружность.
следовательно, и треугольник BOC равносторонний, то есть 
и тогда 
По теореме о произведении отрезков хорд получаем: 
то есть 
откуда 
Тогда
получаем: 
Таким образом,
откуда следует равенство треугольников KPE и KCE и отрезков PE и CE как соответственных элементов. Аналогично равны треугольники DPE и QCE и отрезки DP и CQ. Заметим, что
Прямая AF пересекает сторону ВС в точке Т, а диагональ BD — в точке О.
Пусть радиус окружности равен R. По теореме синусов получаем 
Далее 
то есть 
Тогда
Следовательно,
раз,
