Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность, и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция, и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) Поскольку AK — касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем:
Аналогично находим 
откуда 
и тогда 
Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда
Таким образом, 
Ответ:
Замечание.
Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могут привести более короткое решение, сразу написав 