СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 516763

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Решение.

а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Поскольку AK ― касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем: Аналогично находим откуда и тогда

Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда:

 

 

Таким образом,

 

Ответ:

 

Замечание. Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могут привести более короткое решение, сразу написав


Аналоги к заданию № 516763: 516782 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Методы геометрии: Теорема Птолемея
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника