Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 638595
i

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми AC и BD впи­сан в окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­но сто­ро­не BC, делит по­по­лам сто­ро­ну AD.

б)  Най­ди­те сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что AC  =  84 и BD  =  77, а диа­метр окруж­но­сти равен 85.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет хорду BC в точке H, а сто­ро­ну AD в точке M. Тогда \angle BCA = \angle BDA как впи­сан­ные. Сле­до­ва­тель­но, \angle BOH=\angle BCO=\angle MOD, по­сколь­ку

\angle BOH=90 гра­ду­сов минус \angle HOC=\angle BCO.

Зна­чит, OM  =  MD, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок OM  — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOD.

б)  Рас­смот­рим хорду BE, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли AC: \angle DBE=90 гра­ду­сов , от­ку­да BE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 в квад­ра­те минус 77 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =36. Че­ты­рех­уголь­ник ABEC  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, зна­чит,

AO= дробь: чис­ли­тель: AC минус BE, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =24.

Путь от­ре­зок AQ  — хорда, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли BD. Тогда AQ= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 в квад­ра­те минус 84 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =13, сле­до­ва­тель­но,

BO= дробь: чис­ли­тель: BD минус AQ, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 77 минус 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =32.

Те­перь мы знаем, что OC=AC минус AO=60 и OD=BD минус BO=45. Тогда:

AB в квад­ра­те =AO в квад­ра­те плюс BO в квад­ра­те ;

BC в квад­ра­те =BO в квад­ра­те плюс OC в квад­ра­те ;

CD в квад­ра­те =CO в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те .

То есть

AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 в квад­ра­те плюс 32 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1600 конец ар­гу­мен­та = 40,

BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 в квад­ра­те плюс 60 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4624 конец ар­гу­мен­та = 68,

CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 60 в квад­ра­те плюс 45 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 75 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =75,

AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 в квад­ра­те плюс 45 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2601 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 51.

Ответ: б) 40, 68, 75, 51.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 420
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Четырёхуголь­ник со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026