СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519685

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и

Решение.

a) Так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE, то Заметим, что опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Более того, следовательно, CB параллельно FA. Тогда четырехугольник FCBA — вписанная в окружность трапеция, что означает, что она равнобедренная. Поэтому Следовательно, и CF параллельно BE, ведь соответсвенные углы и равны. Таким образом, четырехугольник BCFE — параллелограмм.

б) Треугольник ADE — равнобедренный, так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE. Тогда Заметим, что как вертикальные и как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник CFE — равнобедренный, Найдем катет BH по теореме Пифагора, он равен Найдем DH по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

Имеем:

(площадь дельтоида)

 

Ответ:

Методы геометрии: Свойства хорд
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники