СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520661

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AA1 также диаметр окружности. Докажите, что .

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.

Решение.

а) Точка B лежит на окружности с диаметром AA1, поэтому прямая A1B перпендикулярна прямой AB, а так как прямая DD1 перпендикулярна прямой AB, прямая A1B параллельна прямой DD1, поэтому как накрест лежащие.

Вписанные углы A1D1D и A1AD опираются на одну и ту же дугу, значит, .

Пусть O — центр окружности. Из точек M и N отрезок OA виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA. Вписанные в эту окружность углы MAO и MNO опираются на одну и ту же дугу, поэтому Следовательно,

б) Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, треугольники ACD и ABD равнобедренные (их высота являются медианами). Положим . Тогда

 

 

С другой стороны, из равенства находим, что Следовательно,

 

Ответ: б) 72°, 126°, 108°, 54°.


Аналоги к заданию № 520661: 520702 Все

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника