Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 4 и 5. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равны 6 и 8. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и

Пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра равна 12. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны рёбер дан­но­го тет­ра­эд­ра.

При про­из­вод­стве в сред­нем на каж­дые 2982 ис­прав­ных на­со­са при­хо­дит­ся 18 не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный насос ока­жет­ся не­ис­прав­ным.

В вик­то­ри­не участ­ву­ют 6 ко­манд. Все ко­ман­ды раз­ной силы, и в каж­дой встре­че вы­иг­ры­ва­ет та ко­ман­да, ко­то­рая силь­нее. В пер­вом ра­ун­де встре­ча­ют­ся две слу­чай­но вы­бран­ные ко­ман­ды. Ничья не­воз­мож­на. Про­иг­рав­шая ко­ман­да вы­бы­ва­ет из вик­то­ри­ны, а по­бе­див­шая ко­ман­да иг­ра­ет со сле­ду­ю­щим слу­чай­но вы­бран­ным со­пер­ни­ком. Из­вест­но, что в пер­вых трёх играх по­бе­ди­ла ко­ман­да А. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что эта ко­ман­да вы­иг­ра­ет четвёртый раунд?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x  — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/⁠с) в мо­мент вре­ме­ни t  =  9 с.

Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром под­дер­жи­ва­ет­ся на уров­не через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния про­пус­ка­ют го­ря­чую воду. Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние x, вода охла­жда­ет­ся от на­чаль­ной тем­пе­ра­ту­ры до тем­пе­ра­ту­ры причeм где   — теплоeмкость воды,   — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а   — по­сто­ян­ная. Най­ди­те, до какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы ра­ди­а­то­ра равна 84 м.

Из пунк­та A в пункт B од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью, мень­шей ско­ро­сти пер­во­го на 13 км/⁠ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути  — со ско­ро­стью 78 км/⁠ч, в ре­зуль­та­те чего при­был в пункт В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­лем. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, если из­вест­но, что она боль­ше 48 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — се­ре­ди­на ребра СD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и СD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми DН и ВМ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 9 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой платёж со­ста­вит 3,6 млн руб­лей?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та CH из вер­ши­ны пря­мо­го угла C. В тре­уголь­ни­ки ACH и BCH впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся пря­мой CH в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AO₁ и CO₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка MO₁NO₂, если AC  =  20 и BC  =  15.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых среди зна­че­ний функ­ции есть ровно одно целое число.

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске окан­чи­вать­ся на 6?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, может быть за­пи­са­но на доске?