PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение. Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
Ответ: 9.
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов
и 
Решение. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Поскольку косинус прямого угла равен нулю, то и скалярное произведение тоже равно нулю.
Ответ: 0.
Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
Решение. Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь, равную четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6.
Ответ: 6.
Примечание.
Заметим, что равными являются треугольники в каждой из четырех пар. Треугольники, относящиеся к разным парам, могут быть не равны.
При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Решение. Всего 
Ответ: 0,006.
В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Решение. Команда А уже обыграла три команды, поэтому, если расставить их по силе в порядке возрастания, получится
П П П А,
где П — проигравшая команда. Следующий соперник может располагаться на одном из пяти равновероятных мест:
_П_П_П_A_
Из этих пяти положений четыре находятся слева от А, и в этих случаях команда А победит, а одно справа, при этом команда А проиграет. Значит, вероятность победы команды А в четвёртом раунде равна
Ответ: 0,8.
Решим задачу в общем виде.
Предыдущее решение было прислано нам Дмитрием Казанцевым. Ниже мы обобщим его на случай произвольного числа команд и выигранных партий.
Упорядочим по силе в порядке возрастания команду А и k проигравших команд П. Для следующей команды есть k + 2 равновероятных места, из них k + 1 место, где она слабее А.
Поэтому вероятность выиграть в следующем раунде равна 
а вероятность проиграть равна 
Эти вероятности зависят лишь от количества выигранных ранее партий и не зависит от общего числа команд.
Другое доказательство приведено в работе И. В. Яковлева ЕГЭ-викторина.
Приведем решение Дмитрия Сузана.
Обозначим команды А, Б, В, Г, Д, Е, и пусть Б, В, Г — уже проигравшие команды. Отсортируем команды по возрастанию силы слева направо. Тогда команды
_Б_В_Г_A_ _
Найдем количество возможных перестановок команд: команда Б стоит слева от А; команда В находится или левее от Б, или между
Если в четвертом раунде команда А выиграет у Д, то Д займет место слева от А.
_Б_В_Г_Д_A_
Количество таких мест 1 · 2 · 3 · 4 · 6 вариантов. (2)
Разделив (2) на (1), получим 0,8.
Приведем решение Олега Гайнуллина.
Найдем, с какой вероятностью победит команда Х, против которой играет А в четвёртом раунде. Она побеждает тогда и только тогда, когда она является более сильной, чем все команды, которые играли до неё (так как до команды Х дойдет самая сильная команда из всех уже сыгравших). Следовательно, Х побеждает, если она является сильнейшей командой в списке из пяти случайных команд, вероятность такого события 
Поэтому вероятность того, что в игре с Х победит А, равна 
Примечание.
Из этого решения следует, что вероятность победы X над любой дошедшей до четвёртого тура командой равна Ещё из этого решения становится очевидно, что количество команд не имеет значения, важно только количество раундов, а потому легко выводится формула для общего случая: 
где n — количество раундов.
Приведем другое решение.
Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.
Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.
Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.
Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 2 · 1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.
Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Поскольку три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна
Приведем еще одно решение.
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. Заметим, что если команда играет с командой с большим номером, то она проигрывает, а если с меньшим номером, то выигрывает. Команда A победила в трех первых играх, следовательно, она имеет номер 4, 5 или 6. При этом команды, с которыми играла команда A в первых трех играх, имеют меньшие номера. Следовательно, возможны всего 15 вариантов наборов номеров команд, принимавших участие в первых четырех играх, и каждый из этих вариантов может быть реализован с вероятностью 
(в наборах команда A записана последней). Сведем варианты в таблицу.
| Первые три игры | Команда, с которой играет A в четвертой игре | Вероятность выигрыша A в четвертой игре |
|---|---|---|
| 1234 1235 1236 1245 1246 1256 1345 1346 1356 1456 2345 2346 2356 2456 3456 | 5 или 6 4 или 6 4 или 5 3 или 6 3 или 5 3 или 4 2 или 6 2 или 5 2 или 4 2 или 3 1 или 6 1 или 5 1 или 4 1 или 3 1 или 2 | 0 0,5 1 0,5 1 1 0,5 1 1 1 0,5 1 1 1 1 |
Таким образом, вероятность выиграть в четвертой игре равна
Примечание к этому решению.
Можно не перебирать в явном виде все варианты, а только подсчитывать их количество. В первых трех играх, кроме команды A, принимают участие три команды, их номера надо выбрать среди номеров команд, меньших, чем у команды A.
Если команда A имеет номер 4, то в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2 и 3, и есть лишь один набор номеров команд: 
При этом в четвертой игре команда A заведомо проигрывает.
Если команда A имеет номер 5, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3 и 4, и есть четыре набора номеров команд: 
При этом в четвертой игре команда A выигрывает с вероятностью 0,5.
Если команда A имеет номер 6, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3, 4 и 5, и есть десять наборов номеров команд: 
При этом в четвертой игре команда A заведомо выигрывает.
Таким образом, вероятность выигрыша команды A в четвертой игре равна
Приведем решение Анны Малковой (Москва).
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. В трех сыгранных раундах сыграло 4 команды. Рассмотрим все варианты: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456. Получаем 15 различных вариантов. Победить в трех раундах могут только команды 4, 5 и 6. Команда 4 побеждает только в одном из 15 вариантов, следовательно, вероятность ее победы равна 
Тогда вероятность победы 
так как она с равной вероятностью может сыграть как с командами, уступающими ей, так и с
Приведем решение Александра Соколихина.
Пусть Max5 — событие, состоящее в том, что команда А победила в четырех играх, то есть она самая сильная из первых пяти команд в случайном списке. Пусть Max4 — событие, состоящее в том, что команда А победила в трех играх, то есть она самая сильная из первых четырех команд в случайном списке. Любая из первых пяти команд с одинаковой вероятностью может оказаться самой сильной: 
Аналогично 
Cобытие Max5 содержится в событии Max4, их пересечение составляет Max5.Тогда по формуле условной вероятности:
Найдите корень уравнения 
Решение. Последовательно получаем:
Ответ: 21.
Найдите значение выражения 
Решение. В силу периодичности косинуса 
Далее используем формулы приведения:
Ответ: 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость
Решение. Найдем закон изменения скорости:
При t = 9 c имеем:
м/с.
Ответ: 60.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне 
через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды 
кг/с.
до температуры 
причeм 
где 
— теплоeмкость воды, 
— коэффициент теплообмена, а 
— постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
Решение. Задача сводится к решению уравнения 
при заданных значениях теплоёмкости воды 
коэффициента теплообмена 
постоянной 
температуры помещения 
и расхода воды 
:
Ответ: 30.
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть 
км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна 
км/ч.
Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч.
Ответ: 52.
Примечание.
По условию оба автомобиля проехали одинаковое расстояние за одно и то же время, а значит, средние скорости их движения равны. Поэтому из приведенного решения следует, что средняя скорость второго автомобиля равна 52 км/ч, его скорость на первой половине пути составляет 52 − 13 = 39 км/ч, а скорость на второй половине пути — 78 км/ч. Невнимательный читатель мог бы решить, что в решении ошибка, поскольку 
Однако противоречия нет.
Первую половину пути автомобиль ехал с меньшей скоростью, значит, он затратил на первую половину пути больше времени, чем на вторую. Поэтому среднюю скорость нельзя находить по формуле 
Пусть половина пути между пунктами 
часов, для прохождения второй половины пути — 
часов, а всего 
часов. Тогда средняя скорость второго автомобиля составит
км/ч,
то есть действительно будет равна скорости первого автомобиля.
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.
Решение. Заметим, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b.
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке оранжевым цветом. Заметим, что k — тангенс угла наклона прямой, 
Следовательно, уравнение прямой имеет 
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке синим цветом. Заметим, что k — тангенс угла наклона прямой, 
Следовательно, уравнение прямой имеет вид 
Теперь найдём абсциссу точки пересечения функций:
Тогда ордината точки пересечения графиков функций равна 
Ответ: 2,75.
Найдите точку максимума функции 
Решение. Область определения функции: 
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума 
Ответ: −4.
Примечание.
Внимательный читатель может заметить, что значение функции 
в точке x = −4 меньше, чем в точке x = 4.
а) Решите уравнение 
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Сделаем замену 
возведём обе части в квадрат:
тогда 
Имеем:
Вернемся к исходной переменной. Если 
то
Если 
то
б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку В силу неравенств
и 
из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа 
и 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
Решение. а) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Пусть К — середина ребра АВ, а N — середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а
Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда неравенство примет вид:
откуда 
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
При 
получим: 
откуда 
Решение исходного неравенства: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В июле планируется взять кредит в банке на сумму
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит
Решение. Ясно, что наибольшим является первый платёж, соответствующий максимальной сумме долга. Пусть кредит планируется взять на n лет. Первый платёж при выплате дифференцируемыми платежами равен 
млн руб. По условию эта величина равна 3,6 млн руб., откуда 
По формуле для выплаты В при оплате кредита S, взятого под r% годовых, имеем:
Поэтому
млн руб.
О решении таких заданий см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой».
Приведём авторское решение.
Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
Следовательно, выплаты
Получаем 
откуда Значит, всего следует выплатить
(млн рублей).
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла C. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
Решение. а) Лучи AO1 и CO2 являются биссектрисами равных углов HAC и HCB соответственно. Значит,
то есть прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Пусть прямая AB касается окружностей, вписанных в треугольники ACH и BCH, в точках
Поскольку 
и 
— квадраты, получаем: 
Значит, площадь четырёхугольника 
равна
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Пункт а) можно решить без вычислений. Повернём треугольник CHA вокруг точки Н на угол 90° и совместим точки А и С. Тогда лучи АO1 и СО2 совпадут, поскольку являются биссектрисами равных углов, а значит, угол между ними до поворота был 90°.
Приведем решение пункта б) Матвея Гащенко (Санкт-Петербург).
Пусть r, r1, r2 — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH соответственно. Треугольники ABC, ACH и BCH подобны, поэтому 
Из подобия находим отношение радиусов:
тогда
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
Подставляя в формулу 
находим:
а потому r2 = 3.
Заметим, что 
Четырехугольник MO1NO2 — трапеция, ее площадь равна
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции 
есть ровно одно целое число.
Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение 
при любом a имеет решение 
Значит, при любом a одно из значений функции равно 1.
Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех 
Чтобы неравенства выполнялись для всех x, дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:
Таким образом, подходящие значения параметра 
Ответ: (1; 11).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущено ошибки, либо обосновано получен ответ, отличный от верного только из-за потери (прибретения) одного-двух искомых значений параметра. | 3 |
| Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного расссуждения найден хотя бы один верный интервал значений параметра. | 2 |
| Ответ, возможно, отсутсвует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены некоторые из искомых значений параметра. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Решение. а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 2 и на 6, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2454.
б) Пусть на доске ровно одно число, оканчивающееся на 6. Тогда на доске написано 29 чисел, оканчивающихся на 2. Их сумма не меньше, чем сумма 29 написанных чисел, оканчивающихся на 2: 
Это противоречит тому, что сумма равна 2454.
в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 6, и 30 − n, оканчивающихся на 2. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 2, не меньше суммы
Сумма чисел, оканчивающихся на 6, не меньше суммы
Таким образом, 
откуда 
поскольку 
Если на доске 10 чисел, оканчивающаяся на 6, и 20 чисел, оканчивающихся на 2, то их сумма оканчивается на 0. Значит, чисел, оканчивающихся на 6, больше 10. Приведём пример 11 чисел, оканчивающихся на 6, и 19 чисел, оканчивающихся на 2, с суммой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |