PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен
Найдите образующую конуса.
На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Найдите корень уравнения: 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением 
Скорость 
(в км/ч)
где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через
На рисунке изображены графики функций 
и 
пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что A1M = 2AM, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 20.
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что 
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б) Найдите AB, если BC = 6 и AC = 4.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное значение k.
поэтому образующая равна 
Значит, гипербола имеет вид 
По графику, g(−2) = −4, тогда 
Теперь найдём абсциссу точки B:
б) 
получим: 
Заметим, что t = 1 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 1 «в столбик» или применив схему Горнера. Получаем:
и 
имеют одинаковые знаки. Получим: 
откуда
тогда
откуда
Далее последовательно получаем:
поэтому
тогда 
Уравнение имеет два решения при 
что верно при всех t.
откуда 
Найденному значению t соответствуют два корня исходного уравнения. 
и при 
Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда 
(иначе чисел не 11), и 
что невозможно для 219 чисел.
