ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 681223 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$a левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус 49 a плюс 18 = 0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Введем замену $x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби = t,$ тогда

$x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби = t равносильно x в квадрате минус tx минус 9 = 0.$

Дискриминант полученного уравнения равен $t в квадрате плюс 36.$ Уравнение имеет два решения при $t в квадрате плюс 36 больше 0,$ что верно при всех t.

Пользуясь введенной заменой, запишем исходное уравнение в виде

$at в квадрате минус 2t минус 49a плюс 18 = 0. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Чтобы исходное уравнение имело два корня, полученное квадратное уравнение должно иметь единственное решение. Это возможно в двух случаях: если уравнение (⁎) является линейным уравнением или если оно является квадратным уравнением, имеющим единственное решение.

При a  =  0 полученное уравнение является линейным и принимает вид $минус 2t плюс 18 = 0,$ откуда $t = 9.$ Найденному значению  t соответствуют два корня исходного уравнения.

При a  ≠  0 уравнение является квадратным, его дискриминант равен

$D = 4 плюс 4a левая круглая скобка 49a минус 18 правая круглая скобка = 196a в квадрате минус 72a плюс 4.$

Уравнение имеет единственное решение, когда дискриминант равен нулю. Находим:

$196a в квадрате минус 72a плюс 4 = 0 равносильно совокупность выражений a = дробь: числитель: 9 минус 4 корень из 2 , знаменатель: 49 конец дроби , a = дробь: числитель: 9 плюс 4 корень из 2 , знаменатель: 49 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a = 0$ и при $a = дробь: числитель: 9 \pm 4 корень из 2 , знаменатель: 49 конец дроби .$

Ответ: $a = 0,$ $a = дробь: числитель: 9 минус 4 корень из 2 , знаменатель: 49 конец дроби ,$ $a = дробь: числитель: 9 плюс 4 корень из 2 , знаменатель: 49 конец дроби .$

-------------
Дублирует задание № 681172.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток;

Задания 18 ЕГЭ–2025.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь