На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное значение k.
а) Да, например, среди чисел в диапазоне от 69 до 138 числа 80, 100 и 120 кратны 20, а числа 69, 92, 115, 138 кратны 23.
б) Нет. Разобьем все числа на группы по 20, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 20. Заметим, что последняя группа, возможно, будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 20. Значит, общее количество чисел не превосходит 
Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда 
(иначе чисел не 11), и 
что невозможно для 219 чисел.
в) Пусть среди данных чисел есть x чисел, кратных 20. Тогда согласно пункту б) общее количество чисел не больше 20x + 19. C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 23, должна быть не менее 23x, поэтому общее количество чисел не меньше 23x + 1. Имеем:
то есть 
Взять 139 чисел можно. Например, подойдут числа от 161 до 299 — среди них 6 чисел кратны 20 и 7 чисел кратны 23.
Ответ: а) да; б) нет; в) 139.
-------------
Дублирует задание № 681173.Спрятать критерии