PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Решение. Высота трапеции
где KO и OH — высоты равнобедренных треугольников DOC и AOB. По теореме Пифагора:
Тогда 
Ответ: 7.
Примечание.
Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков.
Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину
Решение. Сумма векторов 
равна вектору 
Длина вектора 
равна 16.
Ответ: 16.
В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 
Найти сторону основания пирамиды.
Решение. Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R — длина половины диагонали, a — сторона основания пирамиды, l — боковое ребро пирамиды, h — высота пирамиды. В силу связи основных углов в правильной пирамиде:
Вычислим 
Получаем, что
Ответ: 11.
Примечание.
Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде.
Диагональ основания пирамиды равна 
Имеем:
откуда 
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Решение. Из 5000 тысяч новорожденных
Ответ: 0,498.
Примечание.
Составителям следовало подчеркнуть, что ими поставлен вопрос об относительной частоте (судя по ответу к этому заданию в демонстрационной версии ЕГЭ-2014, дело обстоит именно так). Читателям же следует принять во внимание, что термины относительная частота и частота обычно являются синонимами.
Однако в § 26 «Относительная частота и закон больших чисел» самого массового российского учебника алгебры Ш. А. Алимова «Алгебра 9» (17 изд. и позже), наоборот, сказано следующее: «Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N. При этом число М называют частотой события А. Относительную частоту события А обозначают 
». Согласно этому учебнику, ответ на задачу — 2488. Мы сообщили об этом составителям ЕГЭ в 2020-м году.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.
Решите уравнение 
Решение. Используем формулы квадрата суммы и разности:
Ответ: −6.
Найдите значение выражения 
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла 
:
Ответ: 5.
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции 
ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Решение. Прямая 
является касательной к графику функции 
в точке 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
В нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственное решение. Для этого дискриминант 
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 
где m — масса воды в килограммах, 
скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте 
м/с
). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.
Решение. Задача сводится к решению неравенства 
при заданной длине верёвки 
м:
Ответ: 2.
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Решение. До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают
Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.
Ответ: 240.
Приведем арифметическое решение.
Скорость минутной стрелки — 
круга
круга
круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего 
круга. Поэтому необходимое время равно 
часа, или 240 минут.
Приведем короткое решение.
Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через
Приведем решение при помощи геометрической прогрессии (Эмиль Бахшинян).
Минутная стрелка движется в 12 раз быстрее, чем часовая. За то время, пока минутная стрелка пройдет 40 минут, часовая отдалится от своего исходного положения на 
минуты. Пока минутная стрелка пройдет эти минуты, часовая пройдет в 12 раз меньше, то есть 
минуты. Таким образом, расстояния в минутах между стрелками составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Значит, время до первой встречи стрелок является суммой этой прогрессии:
(мин.)
Аналогично время от момента встречи стрелок до каждой следующей встречи есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем Время до четвертой встречи равно сумме времен до первой встречи и до трех следующих:
(мин.)
Примечание.
Если бы изначально на часах было, к примеру, 8 часов 20 минут, первым членом прогрессии стало бы (20 + 20/12) минуты. Это связано с тем, что пока часовая стрелка проходила от 12-го деления 20 минут, часовая стрелка сдвинулась от 8-го деления на 20/12 минуты.
Приведем решение в общем виде.
Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления. Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то:
6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1,
откуда
В противоположном случае получаем уравнение
6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360,
откуда
Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда
На рисунке изображён график функции
где числа a, b и c — целые. Найдите 
Решение. Из рисунка видно, что вершина параболы расположена в точке 
при этом 
Следовательно, 
заметим, что 
откуда
Значит, 
вычислим теперь 
Ответ: 11.
Найдите точку максимума функции 
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума 
Ответ: −17.
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.
Решение. а) Проведём отрезок
и в плоскости грани 
проведём через точку T прямую, параллельную 
Эта прямая пересечёт ребро 
в точке 
Точка F лежит в плоскости 
Треугольники 
и 
подобны, как треугольники с параллельными сторонами, следовательно,
Таким образом, 
Тогда 
и 
б) Четырёхугольник 
— сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны FT и параллельны, но не равны, то четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны EF и 
до пересечения в точке 
Точка T — середина 
поэтому отрезок FT — средняя линия треугольника 
Из равенства треугольников 
и 
получаем 
откуда 
то есть трапеция — равнобедренная.
Найдём стороны трапеции:
Высота равнобедренной трапеции 
Тогда 
Ответ: б) 90.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите неравенство 
Решение. Левая часть неравенства определена при 
При 
справедливы неравенства
поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит 
При 
справедливы неравенства
поэтому левая часть неравенства и в этом случае отрицательна и не превосходит
Таким образом, решением исходного неравенства являются интервалы (0; 1) и (1; 2).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение. Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма 
которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 
откуда 
Заметим, что 69 690 821 кратно 
Действительно, 
Ответ: 124 809 100 рублей.
Замечания.
1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.
2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным 
либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна 
3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.
Приведём другое решение.
Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313.
Если искомая сумма составляет x рублей, то:
| Периоды | Долг клиента (рублей) | ||
|---|---|---|---|
| в начале отчетного периода с учетом возрастания долга | частичное погашение | остаток к концу периода после частичного погашения | |
| Первоначальный | x | — | x |
| I год | 1,31x | 31000000 · 1,313 | 
|
| II год |  | 31000000 · 1,313 | 
|
| III год | 
| 31000000 · 1,313 | 
|
Решение уравнения:
Ответ: 124 809 100 рублей.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
Решение. а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому
откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.
б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:
Ответ: 
Примечание.
Примененная в пункте б) формула может быть получена из следующих соображений: 
где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом 
тогда
А потому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
При каких значениях параметра a система 
имеет решения?
Решение. Перепишем исходную систему в виде
Исходная система имеет решения тогда и только тогда, когда относительно y имеет решения система:
Решая уравнение этой системы, находим, что 
Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения a находятся из совокупности неравенств
Иррациональные неравенства можно решить, используя теоремы о равносильности:
и 
Получим: 
или 
что дает 
Другой путь решения неравенств — ввести замену 
В этом случае 
Тогда:
откуда 
что дает 
Таким образом, 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 
где числа 
— целые, 
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде 
где числа — целые, 
ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа — целые, ровно 130 способами?
Решение. Каждое число 
однозначно представляется в виде 
где 
и 
Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде 
имеет место единственное представление N в виде 
где 
и 
— произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде равно числу способов записать число N в виде 
а) Для представления числа 1292 в виде 
в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом 
определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.
б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.
в) Рассмотрим представление некоторого числа N в виде где n и m — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде 
где l — цифра единиц числа m, а k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами, в виде 
где n — некоторое целое число от 0 до 9999, а k — некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа K представления 
и 
таковы, что 
— наименьшее возможное n, а 
— наибольшее возможное 
Тогда 
или 
иначе бы было представление 
Аналогично 
или 
Заметим, что для любого целого 
такого, что 
имеется представление 
поскольку 
Таким образом, количество представлений равно 
Если 
или 
то представлений больше. Значит, или 
или 
где l — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; ― оба набора задуманных чисел в п. в. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
