ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 3 № 509419 Добавить в вариант

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$ Найти сторону основания пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R  — длина половины диагонали, a  — сторона основания пирамиды, l  — боковое ребро пирамиды, h  — высота пирамиды. В силу связи основных углов в правильной пирамиде:

$тангенс альфа = дробь: числитель: тангенс бета , знаменатель: корень из 2 конец дроби = корень из 7 ,$

поэтому

$a = корень из 2 R= корень из 2 умножить на l косинус альфа .$

Вычислим $косинус альфа :$

$косинус альфа = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате альфа плюс 1 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби .$

Получаем, что

$a = корень из 2 умножить на l косинус альфа = корень из 2 умножить на 22 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби = 11.$

Ответ: 11.

Примечание.

Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде.

Диагональ основания пирамиды равна $a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Имеем:

$тангенс альфа = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;$

$тангенс бета = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a конец дроби ,$

откуда $тангенс альфа = дробь: числитель: тангенс бета , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность;

5.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью.

Классификатор стереометрии: Двугранный угол, линейный угол двугранного угла

Спрятать решение · Видеокурс · Помощь