PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите угол ABD, если
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображены график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
где l — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 1. Через
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна 
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15 декабря 2029 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тысяч рублей?
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 1.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому
откуда, учитывая, что 
получаем: 
или 
откуда, учитывая, что 
или 
Следовательно,
км/ч,
км/ч.
(часов), отсюда имеем:
Значит, 
По графику g(2) = 1, тогда 
Значит, 
б) 
откуда
Значит, искомая плоскости делит ребро SC в отношении
Тогда уравнение плоскости α имеет вид 
Подставим в это уравнение координаты точки O, получим:
значит, и точка D принадлежит плоскости α.
и 
имеют одинаковые знаки. Получим:
Долг должен уменьшаться равномерно с 9 млн руб. до нуля за 36 месяцев, значит, ежемесячно долг должен уменьшаться 
млн руб.,
то есть 
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
Таким образом, длина стороны MN равна
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда 
тогда исходное уравнение принимает вид 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а значения 
дают два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
тоже давало остаток 21 при делении на 60, то есть чтобы число 
было кратно 20, то есть 
можно взять числа 30 021, 21, 
и любые другие семь чисел, дающие при делении на 60 остаток 21.