Ре­ше­ние. Пусть h  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, тогда его пло­щадь равна Пло­щадь тра­пе­ции BCDE равна

Ответ: 52,5.

Ре­ше­ние. Най­дем:

Ответ: 172.

Ре­ше­ние. Вы­со­та приз­мы равна вы­со­те ци­лин­дра, а сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна диа­мет­ру ци­лин­дра. Бо­ко­вые грани приз­мы  — пря­мо­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2 и 4. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти 4 · 2 · 4  =  32.

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Стар­те­ром», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ная ком­би­на­ция одна: 011, а всего ком­би­на­ций 2³  =  8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,125.

Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят три лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,25 · 0,25 · 0,25  =  0,015625.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа  — про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,015625  =  0,984375  ≈  0,984.

Ответ: 0,984.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла Имеем:

Ответ: 4,2.

Ре­ше­ние. Убы­ва­нию диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции со­от­вет­ству­ют не­по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния её про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на в точ­ках : точки лежат ниже оси абс­цисс, их ор­ди­на­ты от­ри­ца­тель­ны. Таких точек 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если км. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства км при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и a:

Учи­ты­вая то, что время  — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем ч, то есть мин.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую ра­бо­ту за 1. Ско­рость ра­бо­ты пер­во­го ма­сте­ра 1/45 ра­бо­ты в час, а вто­ро­го  — 1/30 ра­бо­ты в час. Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. По­это­му два ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте, вы­пол­нят заказ за

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку f(1)  =  2, то есть от­ку­да a  =  2. тогда урав­не­ние функ­ции имеет вид

За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой. Сле­до­ва­тель­но, и

Те­перь най­дем абс­цис­су точки A:

Оче­вид­но, точка (0; 0)  — это точка A. Ис­ко­мая абс­цис­са точки B: x  =  100.

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −21.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния. Раз­де­лим на

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). От­рез­ку при­над­ле­жат числа 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Тре­уголь­ни­ки A₁C₁M равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке A₁MB две сто­ро­ны равны, то есть он рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию.

б)  Пусть точка O  — се­ре­ди­на сто­ро­ны A₁B, а также Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A₁B₁B:

от­ку­да Най­дем вы­со­ту тре­уголь­ни­ка A₁BM: в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке она сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Длину от­рез­ка MO вы­ра­зим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков A₁MO и A₁C₁M:

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка от­ку­да

Таким об­ра­зом, вы­со­та приз­мы равна 

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Найдём зна­че­ния x, при ко­то­рых опре­де­ле­ны обе части не­ра­вен­ства:

Для таких x по­лу­ча­ем:

Тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­мет вид: Учи­ты­вая, что не­ра­вен­ство опре­де­ле­но на мно­же­стве имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние при­бы­ли, то есть наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

где и Квад­ра­тич­ная функ­ция с от­ри­ца­тель­ным ко­эф­фи­ци­ен­том при стар­шем члене до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке

Най­дем это зна­че­ние:

Под­счи­та­ем при­быль за­во­да, по­сле­до­ва­тель­но пе­ре­би­рая зна­че­ния p при усло­вии вне­сем дан­ные в таб­ли­цу.

Год после по­строй­ки за­во­да	Зна­че­ние p	Сумма при­бы­ли за год (в млн руб.)	Сумма при­бы­ли с 1-⁠го года функ­ци­о­ни­ро­ва­ния за­во­да (в млн руб.)
1	10		26
2	11		26 + 34,5  =  60,5
3	12		60,5 + 44  =  104,5
4	13		104,5 + 54,5  =  159

По дан­ным таб­ли­цы видим, что при­быль ста­нет равна за­тра­там на стро­и­тель­ство через 4 года после по­строй­ки.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем через точку C пря­мую па­рал­лель­ную BD. На пе­ре­се­че­нии этой пря­мой и пря­мой AD от­ме­тим точку   — па­рал­ле­ло­грамм.

В тре­уголь­ни­ке ACC₁:

За­ме­тим, что по­сколь­ку тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник ACC₁  — пря­мо­уголь­ный, угол ACC₁ пря­мой. Тогда угол COD пря­мой, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Вы­со­та тра­пе­ции равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим функ­цию Она воз­рас­та­ю­щая, как сумма двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций. Зна­чит, каж­дое своё зна­че­ние она при­ни­ма­ет ровно один раз. Тогда ис­ход­ное урав­не­ние можно за­пи­сать в виде и оно рав­но­силь­но урав­не­нию

Пусть тогда каж­до­му по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию y со­от­вет­ству­ет два раз­лич­ных зна­че­ния x, зна­че­нию со­от­вет­ству­ет а от­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям y не со­от­вет­ству­ет ни од­но­го зна­че­ния x. Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело более трёх раз­лич­ных ре­ше­ний, урав­не­ние долж­но иметь два раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня. Это вы­пол­ня­ет­ся при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и b юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда ко­ли­че­ство де­ву­шек ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем

а)  Спра­ши­ва­ет­ся, имеет ли урав­не­ние ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде Ясно, что числа и яв­ля­ют­ся одним из ре­ше­ний. То есть если 14 юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и трое юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му, то всего они от­пра­ви­ли 119 писем, ко­то­рые можно рас­пре­де­лить между 17 де­вуш­ка­ми так, чтобы каж­дая по­лу­чи­ла ровно 7 писем.

б)  Общее ко­ли­че­ство писем долж­но де­лить­ся на ко­ли­че­ство де­ву­шек без остат­ка. За­ме­тим, что тогда в силу тож­де­ства число также долж­но де­лить­ся на Если не де­лит­ся на 17, то b де­лит­ся на что про­ти­во­ре­чит усло­ви­ям Зна­чит, де­лит­ся на 17. Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 17,  — это 17. При­мер того, что де­ву­шек может быть ровно 17, при­ведён в преды­ду­щем пунк­те.

в)  Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда сум­мар­но они от­пра­ви­ли писем, а число по­лу­чен­ных де­вуш­ка­ми писем не мень­ше

По­лу­ча­ем

от­ку­да

При имеем что про­ти­во­ре­чит усло­вию

Если то сум­мар­ное ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем равно Эти пись­ма можно рас­пре­де­лить между де­вуш­ка­ми сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 40 де­ву­шек по­лу­чи­ли от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.