РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 40457873

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402

Призёрами городской олимпиады по математике стали 35 учеников, что составило 25% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой в 1999 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В группе туристов 6 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Найдите корень уравнения $левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени 5 =32.$

В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.

Найдите значение выражения $корень из: начало аргумента: 50 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус корень из: начало аргумента: 50 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

10.  

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ где $p_1$ и $p_2$   — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$   — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

11.  

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

12.  

Найдите точку минимума функции $y=4x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка плюс 12.$

13.  

a)  Решите уравнение $7 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x косинус x = 4 косинус в кубе x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁  — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁  — середина B₁E.

а)  Докажите, что прямые A₁B₁ и DE перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 3, а AA₁ = 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 3 в степени x минус 1 плюс дробь: числитель: 9 в степени левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: 3 в степени x минус 9 конец дроби \geqslant3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а)  Докажите, что BM  =  CM.

б)  Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Решение. а)  Заметим, что вписанный угол ADC опирается на диаметр, поэтому CD  — высота треугольника ABC. Далее, MC  =  MD как касательные к окружности (MC касательная, так как угол MCO  — прямой). Треугольник MCD равнобедренный, поэтому углы MCD и MDC равны. Далее вычислим:

$\angle MDB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MDC=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MCD=\angle MBD.$ $\angle MDB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MDC=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MCD=\angle MBD.$

Отсюда MB  =  MD, а значит, и BM  =  CM. Что и требовалось доказать.

б)   Заметим, что OM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезки OK и AB параллельны. Отсюда

$BK:KP=DM:MP=CM:MP= косинус \angle CMP.$ $BK:KP=DM:MP=$
$=CM:MP= косинус \angle CMP.$

Вычислим отношение BK к KP:

$косинус \angle CMP= косинус 2\angle MCD= косинус 2\angle BAC=$
$=2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1= дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ $косинус \angle CMP= косинус 2\angle MCD=$
$= косинус 2\angle BAC=$
$=2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1= дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ $косинус \angle CMP= косинус 2\angle MCD=$
$= косинус 2\angle BAC=$
$=2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1=$
$= дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Приведем другое решение пункта а) Реян Темиркаяевой.

Заметим, что отрезок OD перпендикулярен прямой DM, как радиус проведенный в точку касания, следовательно, $\angle ODM плюс \angle OCB=180 градусов,$ отсюда OCMD  — вписанный.

Пусть $\angle DCB= альфа ,$ тогда $\angle DCO=90 градусов минус альфа .$ Увидим, что $\angle DCB= \angle MOD= альфа ,$ так как опирается на хорду DM. Треугольник COD  — равнобедренный и $CO=OD$ как радиусы, следовательно,

$\angle OCD= \angle ODC=90 градусов минус альфа .$

Угол CDA  — вписанный, опирается на диаметр, значит, $\angle CDA=90 градусов.$ Тогда

$\angle ADO=90 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка = альфа ,$

отсюда $\angle MOD=\angle ODA.$ Эти углы являются накрестлежащими, следовательно, отрезок OM параллелен отрезку AB. Точка O является серединой AC. Значит, OM  — средняя линия треугольника ABC, следовательно, $CM=MB.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия возврата таковы:

  — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й (с января 2025 года по апрель 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

  — 15 апреля 2026 года долг составит 400 тысяч рублей;

  — 15 мая 2026 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1608 тысяч рублей?

Номер месяца	Долг после начисления процентов, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг до начисления процентов, тыс. руб.
			$S=400 плюс 16x$
1	$1,03 умножить на левая круглая скобка 400 плюс 16x правая круглая скобка$	$12 плюс 1,48x$	$400 плюс 15x$
2	$1,03 умножить на левая круглая скобка 400 плюс 15x правая круглая скобка$	$12 плюс 1,45x$	$400 плюс 14x$
...	...	...	...
15	$1,03 умножить на левая круглая скобка 400 плюс 2x правая круглая скобка$	$12 плюс 1,06x$	$400 плюс x$
16	$1,03 умножить на левая круглая скобка 400 плюс x правая круглая скобка$	$12 плюс 1,03x$	$400$
17	$1,03 умножить на 400$	$1,03 умножить на 400$	0

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$|a минус 4|x в степени 4 минус 2ax в квадрате плюс |a минус 30| = 0$

имеет хотя бы два решения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

19.  

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 272. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а)  Может ли число 425 являться членом такой прогрессии?

б)  Может ли число 680 являться членом такой прогрессии?

в)  Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548499	140
2	530661	28
3	27547	7,5
4	321005	0,5
5	283161	0
6	27758	74
7	27490	44
8	73323	4
9	504824	5
10	525114	8
11	5625	7
12	4283	-10,75
13	563916	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$
14	563917	$дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби .$
15	563919	$дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$
16	563920	1 200 000 рублей.
17	563921	$левая квадратная скобка дробь: числитель: 60, знаменатель: 17 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 12; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
18	563922	а)  да; б)  нет; в)  918.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402

Ключ

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402