1. Тип 13 № 563547 
Источники:
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Сведение к однородному
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. По формуле косинуса двойного угла 
Обозначим 
тогда
Вернемся к исходной переменной, получим:
Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 563547
а) б)
б) 
б) 
Обозначим 
тогда 
поэтому из первой серии в него может попасть не более двух корней, а из второй и третьей — не более одного корня. Из первой серии решениями, лежащими в отрезке, являются числа 
и 
из второй — 
Ни один из членов третьей серии не попадает в заданный отрезок, поскольку число 
соответствующее 
лежит левее отрезка, а число 
соответствующее 
уже правее отрезка.
б) 
и 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
Для второго уравнения сделаем замену 
получим уравнение 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) 
Обозначим 
б) 
записав левую часть в виде полного квадрата 
Можно было найти дискриминант 
и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень
Для второго уравнения сделаем замену 
получим уравнение 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) 
Для второго уравнения сделаем замену 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) 
Получим числа: 
б) 
б) 
Далее вынесем общий множитель за скобки, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, заметим полный квадрат:
равна 
при 
и 
при 
Соседние члены второй и третьей серии отличаются на 2π, поэтому в заданный отрезок может попасть не более одного члена из каждой серии. Это числа 
и 
соответственно, соответствующие 
но последнее в интервал не попадает.
б) 
Далее вынесем общий множитель за скобки, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, заметим полный квадрат:
равна 
при 
и 
при 
Соседние члены второй и третьей серии отличаются на 2π, поэтому в заданный отрезок может попасть не более одного члена из каждой серии. Возможные числа 
и 
соответственно, соответствующие 
б) 
принадлежит только корень −1.
б) 
получим:
равна 
поэтому из первой серии в него может попасть не больше двух членов; это числа 2π и 3π, а из второй серии — не более одного; это число 
б) 
