Ре­ше­ние. По­сколь­ку 41 по­езд­ка сто­и­ла бы 20  41  =  820 руб­лей, Аня сэко­но­ми­ла 820 − 580  =  240 руб­лей.

Ответ: 240.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что впер­вые тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­си­ла 16 °C в июне.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. На ци­фер­бла­те между во­се­мью и один­на­дца­тью ча­са­ми три ча­со­вых де­ле­ния. Всего на ци­фер­бла­те 12 ча­со­вых де­ле­ний. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни.

Если то и

Если то и

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число −4.

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны на синус его угла. С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. По­это­му если сто­ро­на ромба равна a, то

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния по­это­му

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­ка Юр­чен­ко.

Пусть ост­рым углом ромба яв­ля­ет­ся угол A. Про­ве­дем вы­со­ту ромба из вер­ши­ны D к сто­ро­не AB и рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ADH, где H  — точка пе­ре­се­че­ния вы­со­ты и сто­ро­ны AB. Угол A равен 30°, сле­до­ва­тель­но, AD  =  2DH, по­сколь­ку катет, ле­жа­щей про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Тогда AD  =  2 · 2  =  4. В ромбе все сто­ро­ны равны, тогда пло­щадь ромба

Ре­ше­ние. На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Ис­ко­мый объём мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объёмов приз­мы и пи­ра­ми­ды ос­но­ва­ния и вы­со­ты ко­то­рых сов­па­да­ют. По­это­му

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при из­вест­ном зна­че­нии по­сто­ян­ной  Гц:

Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ная ско­рость теп­ло­во­за долж­на быть равна 15 м/с.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Чтобы найти сред­нюю ско­рость на про­тя­же­нии пути, нужно весь путь раз­де­лить на все время дви­же­ния. Пусть км  — весь путь ав­то­мо­би­ля, тогда сред­няя ско­рость равна:

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем дан­ную функ­цию:

Гра­фик функ­ции имеет го­ри­зон­таль­ную асимп­то­ту y  =  –2, зна­чит, k  =  –2.

Ответ: –2.

Ре­ше­ние. а)   За­пи­шем урав­не­ние в виде:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку. Под­хо­дят корни

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APH, па­рал­лель­ная его сто­ро­не PH (см. рис.).

По­сколь­ку PABCD  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да, точка H  — центр квад­ра­та и по­это­му а зна­чит, Пря­мые MN и PH па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми PH и BM равен углу между пря­мы­ми MN и BM, то есть остро­му углу BMN пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

б)  При­мем длину ребра дан­ной пи­ра­ми­ды за a, тогда и, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Поль­зу­ясь свой­ства­ми ло­га­риф­ма, пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что MN  — сред­няя линия тра­пе­ции по опре­де­ле­нию, зна­чит, Пусть тогда а По свой­ству впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка, Угол PQN яв­ля­ет­ся смеж­ным с ним, зна­чит, По­сколь­ку сумма углов PMN и PQN равна  180°, около че­ты­рех­уголь­ни­ка  PQNM можно опи­сать окруж­ность.

б)  Тре­бу­ет­ся найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка MPQ. Эта окруж­ность опи­са­на и во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка PQNM, а зна­чит, и во­круг тре­уголь­ни­ка MPN. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка MPN. Для этого вос­поль­зу­ем­ся обоб­щен­ной тео­ре­мой си­ну­сов:

Най­дем PN. По усло­вию, тре­уголь­ник CDP яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, CN  =  ND, зна­чит, PN яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе. По­это­му

Най­дем синус угла α. Про­ведём вы­со­ты тра­пе­ции BH и CK. Пусть АН  =  x. По­сколь­ку вы­со­ты, про­ве­ден­ные из точек В и С к ос­но­ва­нию AD, равны, можно со­ста­вить урав­не­ние на x:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AНB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим:

тогда

Окон­ча­тель­но имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть X руб­лей  — еже­год­ный платёж Ми­ха­и­ла по плану 1. Тогда

От­сю­да по­лу­ча­ем

Зна­чит, по плану 1 Ми­ха­ил за­пла­тит банку всего руб­лей.

Пла­те­жи Ми­ха­и­ла по плану 2 со­ста­вят:

Тогда всего Ми­ха­ил за­пла­тит банку по плану 2:

Зна­чит, по плану 2 общая сумма вы­плат Ми­ха­и­ла банку мень­ше на руб­лей.

Ответ: 19 720.

При­ме­ча­ние.

Ре­дак­ция Решу ЕГЭ от­ре­дак­ти­ро­ва­ла усло­вие за­да­чи. В ав­тор­ской фор­му­ли­ров­ке было: «15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг с 1-го по 35-й долг дол­жен быть мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на одну и ту же сумму». При таком усло­вии воз­мож­ны любые ва­ри­ан­ты рав­но­мер­но умень­ша­ю­щих долг сумм в пер­вые 35 ме­ся­цев и по­след­няя сумма в 36-й месяц, пол­но­стью га­ся­щая за­дол­жен­ность.

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде

По­ла­гая по­лу­чим си­сте­му

име­ю­щую то же ко­ли­че­ство ре­ше­ний. Кроме того, если пара чисел (u; y)  — ре­ше­ние си­сте­мы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы. Таким об­ра­зом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число ре­ше­ний крат­но че­ты­рем. Зна­чит, если си­сте­ма имеет ровно 6 ре­ше­ний, то либо либо

Если u  =  0, то сле­до­ва­тель­но, Си­сте­ма

имеет два ре­ше­ния: (0; 16), (0; −16), по­это­му этот слу­чай не под­хо­дит.

Если y  =  0, то сле­до­ва­тель­но, По­лу­ча­ем си­сте­му:

Она имеет 6 ре­ше­ний, так как каж­до­му зна­че­нию y со­от­вет­ству­ет два раз­ных зна­че­ния u.

Ответ:

При­ве­дем идею гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Пер­вое урав­не­ние за­да­ет части двух па­ра­бол:

(см. рис.).

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом с цен­тром На ри­сун­ке видно, что шесть ре­ше­ний си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся, толь­ко если окруж­ность про­хо­дит через точки и пе­ре­се­кая па­ра­бо­лу еще в че­ты­рех точ­ках.

При этом ра­ди­ус окруж­но­сти равен от­ку­да или

Ре­ше­ние. Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и b юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда ко­ли­че­ство де­ву­шек ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем

а)  Спра­ши­ва­ет­ся, имеет ли урав­не­ние ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде Ясно, что числа и яв­ля­ют­ся одним из ре­ше­ний. То есть если 14 юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и трое юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му, то всего они от­пра­ви­ли 119 писем, ко­то­рые можно рас­пре­де­лить между 17 де­вуш­ка­ми так, чтобы каж­дая по­лу­чи­ла ровно 7 писем.

б)  Общее ко­ли­че­ство писем долж­но де­лить­ся на ко­ли­че­ство де­ву­шек без остат­ка. За­ме­тим, что тогда в силу тож­де­ства число также долж­но де­лить­ся на Если не де­лит­ся на 17, то b де­лит­ся на что про­ти­во­ре­чит усло­ви­ям Зна­чит, де­лит­ся на 17. Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 17,  — это 17. При­мер того, что де­ву­шек может быть ровно 17, при­ведён в преды­ду­щем пунк­те.

в)  Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда сум­мар­но они от­пра­ви­ли писем, а число по­лу­чен­ных де­вуш­ка­ми писем не мень­ше

По­лу­ча­ем

от­ку­да

При имеем что про­ти­во­ре­чит усло­вию

Если то сум­мар­ное ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем равно Эти пись­ма можно рас­пре­де­лить между де­вуш­ка­ми сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 40 де­ву­шек по­лу­чи­ли от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.