Тет­радь стоит 24 рубля. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит по­ку­па­тель за 60 тет­ра­дей, если при по­куп­ке боль­ше 50 тет­ра­дей ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 10% от сто­и­мо­сти всей по­куп­ки?

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков из 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Среди ука­зан­ных стран вто­рое место при­над­ле­жит США. Опре­де­ли­те, какое место за­ни­ма­ет Шве­ция.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

Ре­ши­те урав­не­ние

Ост­рый угол пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 32°. Най­ди­те ост­рый угол, об­ра­зо­ван­ный бис­сек­три­са­ми этого и пря­мо­го углов тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пря­мая y = 3x + 1 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции ax² + 2x + 3. Най­ди­те a.

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, если пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 37.

Най­ди­те если

Опор­ные баш­ма­ки ша­га­ю­ще­го экс­ка­ва­то­ра, име­ю­ще­го массу тонн, пред­став­ля­ют собой две пу­сто­те­лые балки дли­ной мет­ров и ши­ри­ной s мет­ров каж­дая. Дав­ле­ние экс­ка­ва­то­ра на почву, вы­ра­жа­е­мое в ки­ло­пас­ка­лях, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где m  — масса экс­ка­ва­то­ра (в тон­нах), l  — длина балок в мет­рах, s  — ши­ри­на балок в мет­рах, g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с). Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную ши­ри­ну опор­ных балок, если из­вест­но, что дав­ле­ние p не долж­но пре­вы­шать 140 кПа. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

В 2008 году в го­род­ском квар­та­ле про­жи­ва­ло че­ло­век. В 2009 году, в ре­зуль­та­те стро­и­тель­ства новых домов, число жи­те­лей вы­рос­ло на а в 2010 году на по срав­не­нию с 2009 годом. Сколь­ко че­ло­век стало про­жи­вать в квар­та­ле в 2010 году?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F се­ре­ди­на ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль B₁D в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль DB₁ в от­но­ше­нии DO : OB₁  =  2 : 3.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (ABC), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а вы­со­та равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B пря­мо­уголь­ни­ка ABCD пер­пен­ди­ку­ляр­но диа­го­на­ли AC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке M, рав­но­удалённой от вер­шин B и D.

а)  До­ка­жи­те, что ∠ABM  =  ∠DBC  =  30°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра пря­мо­уголь­ни­ка до пря­мой CM, если BC  =  9.

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [−1; 0].

После того, как учи­тель до­ка­зал клас­су новую тео­ре­му, вы­яс­ни­лось, что боль­шая часть клас­са не по­ня­ла до­ка­за­тель­ство (быть может, все  — Решу ЕГЭ). На пе­ре­ме­не один уче­ник вдруг понял до­ка­за­тель­ство (и толь­ко он). Также из­вест­но, что в клас­се учит­ся не более 30, но не менее 20 че­ло­век.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь уже мень­шая часть клас­са не по­ни­ма­ет до­ка­за­тель­ство?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что ис­ход­но про­цент уче­ни­ков, по­няв­ших до­ка­за­тель­ство, вы­ра­жал­ся целым чис­лом, а после пе­ре­ме­ны  ― не­це­лым чис­лом?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­нять про­цент уче­ни­ков клас­са, так и не по­няв­ших до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы?