PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?
На диаграмме показан средний балл участников из 10 стран в тестировании учащихся 8-го класса по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Среди указанных стран второе место принадлежит США. Определите, какое место занимает Швеция.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
На тарелке 16 пирожков: 7
Решите уравнение 
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции 
ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы
Найдите 
если 
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу 
тонн,
метров и шириной 
где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте 
м/с
). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.
В 2008 году в городском квартале проживало 
человек. 
а в 
по сравнению с
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку 
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
Решите неравенство 
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 
от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].
После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство (быть может, все — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?
б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?
в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?
см2.
является касательной к графику функции 
в точке 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
В нашем случае имеем:
кПа при известных значениях длины балок 
м, массы экскаватора 
т:
м.
человек, а в 2010 году число жителей стало 
человек.
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: 
б) 
параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
тогда 
Таким образом, 
— подобны, откуда 
что и требовалось доказать.
и 
получаем, что 
Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Таким образом, угол PKB ― линейный угол искомого двугранного угла.
и 
из треугольника PBK находим: 
откуда 
При этом условие 
избыточно, поскольку величина, большая неотрицательной, заведомо положительна. Существенным моментом решения является хорошее понимание этого обстоятельства. Именно поэтому, решая неравенство 
нет необходимости дополнительно решать неравенство 
К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила 
у. е.
у. е.
у. е. По условию задачи эта сумма равна 
у. е. 
на множестве положительных чисел.
и 
а неравенство 
задаёт часть плоскости выше параболы с вершиной (−4; −4), ветви которой направлены вверх. Найдём координаты точки A пересечения параболы с прямой 
соответствует точке пересечения, лежащей во второй четверти. Для большего корня справедливы неравенства:
находим: 
Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь 
при условии, что 
равно 96. Результат 96 достигается, если 
Если 
то очевидно, что 
необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а 
