В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
а) Поскольку плоскость 
параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
Прямая FL параллельна AC, значит, точка F середина ребра AB, Тогда, отрезок FL ― средняя линия треугольника ABC и, следовательно, 
Положим 
тогда 
Далее имеем (см. рис. 2):
1) Треугольники BKP и DKE — подобны, откуда 
Таким образом, 
2) Треугольники DOE и 
— подобны, откуда 
что и требовалось доказать.
б) Из того, что 
и 
получаем, что 
Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Таким образом, угол PKB ― линейный угол искомого двугранного угла.
Учитывая, что 
и 
из треугольника PBK находим: 
откуда 
Ответ: б) 
Примечание.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед, соответствующий условию пункта б).
Решение пункта а) справедливо для произвольного параллелепипеда.