СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 516780

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

Решение.

а) Поскольку плоскость параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости с диагональю B1D (см. рис. 1).

Прямая FL параллельна AC, значит, точка F середина ребра AB, Тогда, отрезок FL ― средняя линия треугольника ABC и, следовательно,

Положим тогда

Далее имеем (см. рис. 2):

1) Треугольники и — подобны, откуда Таким образом ,

2) Треугольники и — подобны, откуда , что и требовалось доказать.

б) Из того, что и , получаем, что Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, Таким образом, угол ― линейный угол искомого двугранного угла.

Учитывая, что и из треугольника находим: , откуда

 

Ответ: б)

 

Примечание.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед, соответствующий условию пункта б).

Решение пункта а) справедливо для произвольного параллелепипеда.


Аналоги к заданию № 516780: 516761 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная призма, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Теорема о трёх перпендикулярах, Угол между плоскостями