В ма­га­зи­не вся ме­бель продаётся в разо­бран­ном виде. По­ку­па­тель может за­ка­зать сбор­ку ме­бе­ли на дому, сто­и­мость ко­то­рой со­став­ля­ет 10% от сто­и­мо­сти куп­лен­ной ме­бе­ли. Шкаф стоит 3300 руб­лей. Во сколь­ко руб­лей обойдётся по­куп­ка этого шкафа вме­сте со сбор­кой?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра была от­ри­ца­тель­ной.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC . Най­ди­те длину его ме­ди­а­ны, про­ведённой из вер­ши­ны C.

Из мно­же­ства на­ту­раль­ных чисел от 10 до 19 на­уда­чу вы­би­ра­ют одно число. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 3?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 5 и 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Най­ди­те если

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной м и со ско­ро­стью те­че­ния м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 9, а бо­ко­вое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SB в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

а)  Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б)  Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.