РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 34184541

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3300 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была отрицательной.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Найдите корень уравнения: $9 в степени левая круглая скобка минус 5 плюс x правая круглая скобка =729.$

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Найдите $тангенс альфа ,$ если $дробь: числитель: 7 синус альфа плюс 13 косинус альфа , знаменатель: 5 синус альфа минус 17 косинус альфа конец дроби =3.$

10.  

Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м и со скоростью течения $u =0,5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа ,$ где $альфа$   — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $альфа$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

11.  

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч.

12.  

Найдите точку максимума функции $y= дробь: числитель: 16, знаменатель: x конец дроби плюс x плюс 3.$

13.  

а)  Решите уравнение $2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = тангенс x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Решение. а)  Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Таким образом, прямые KN и SA параллельны, треугольники NBK и SBA подобны, а $SN:NB=AK:KB =2:7,$ что и требовалось доказать.

б)  Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что $AL:LC = SM:MC = 2:7.$ Из равенства $AL:LC = AK:KB$ следует, что LK и CB параллельны.

Проведём SH и АH, и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.

Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP  — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.

Заметим, что AR : RH  =  AK : KB  =  2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.

Тогда $AR= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби AH= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 9 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Заметим, что $RP=RA синус \angle SAO,$ где O  — основание высоты пирамиды, тогда

$RP=AR умножить на дробь: числитель: SO, знаменатель: SA конец дроби =AR умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: SA в квадрате минус AO в квадрате конец аргумента , знаменатель: SA конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x минус 5, знаменатель: 1 минус 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию 2 x.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а)  Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

Зависимость количества Q (в шт., $0 меньше или равно Q меньше или равно 15000 правая круглая скобка$ купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 15000 минус P.$ Затраты на производство Q единиц товара составляют $3000 Q плюс 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей $левая круглая скобка 0 меньше t меньше 10000 правая круглая скобка$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ минус 3000 Q минус 1000000 минус tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x минус 2a, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x минус a конец дроби =1$

имеет ровно один корень.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
С помощью верного рассуждения найдены точки $a= минус 2,$ $a= минус 1$ и $a=1$ множества значений a.	3
C помощью верного рассуждения найдены точки $a= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и $a= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ множества значений a. ИЛИ Обоснованно получена хотя бы одна из точек множества значений a: $a= минус 2,$ $a= минус 1$ и $a=1.$	2
Задача верно сведена к исследованию корней уравнения $x в квадрате минус левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 2a минус 2 правая круглая скобка =0.$ ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

19.  

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение. а)  Например числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б)  Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из 1 − a сотен, 9 − b десятков и 9 − c единиц. Суммы цифр этих чисел равны a + b + c и 19 − a − b − c соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в)  Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

$1 плюс 10 плюс 100 плюс 1000 плюс 10000=11111,$

$2 плюс 11 плюс 20 плюс 101 плюс 110=244,$

$3 плюс 12 плюс 21 плюс 30 плюс 102=168,$

$4 плюс 13 плюс 22 плюс 31 плюс 40=110.$

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

$a плюс левая круглая скобка a плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 27 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 36 правая круглая скобка =5a плюс 90\geqslant115.$

Получаем, что искомое число равно 110.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  110.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	323515	3630
2	27520	4
3	27803	3
4	320179	0,3
5	26666	8
6	27935	22
7	502067	3
8	27080	6
9	26790	8
10	28010	45
11	26585	3
12	77471	-4
13	507886	а) $левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .$
14	526290	б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
15	507736	$левая круглая скобка 0;0,5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; корень 4 степени из: начало аргумента: 32 конец аргумента правая квадратная скобка .$
16	514730	б) 25 : 36.
17	520977	6000.
18	514484	$a= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a= минус 2,$ $a= минус 1,$ $a=1,$ $a= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
19	505503	а)  да; б)  нет; в)  110.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ