PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем
Решите уравнение 
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в
На рисунке изображены график функции
и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции 
в точке x0.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите 
если 
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью 
м/с
к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью 
(м/с),
кг
кг (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?
Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решите уравнение: 
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
Решите неравенство: 
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, 
а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если 
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. 
Имеем: 
на интервале 
при заданных значениях массы скейтбордиста 
кг
кг:
км/ч,
км/ч,
Яхта, прибыв в 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: 
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
до плоскости 
определяется по формуле 
получаем:
тогда
— медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, 
но и 
как средняя линия треугольника АВС. Поэтому четырёхугольник 
— равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки 
и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Кроме того, из п. а) 
Следовательно, 
и 
Тогда по теореме синусов для каждого из них имеем:
равнобедренный, тогда 
откуда 
Поскольку 
сумма противоположных углов четырехугольника 
Тогда первые три платежа составляли 
миллионов рублей. Пусть далее четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда 
откуда 
По условию, общие выплаты составят 
откуда
(тыс. руб.) Следовательно, за последние два расчетных года клиент выплатит кредитору 
тыс. руб. А это значит, что суммы выплат 2020 года и аналогичная сумма 2021 года составят по 
(тыс. руб.) каждая.
(тыс. руб.).
(тыс. руб.)
тыс. руб.
тогда уравнение принимает вид 
Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.
то уравнение не имеет решений.
то уравнение имеет единственное решение (см. рис.). 
уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая 
касается графика функции 
(см. рис.), что задаётся системой соотношений:
поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример:
откуда 
что невозможно — 363 не кратно 9.
поэтому a следует сделать как можно меньше. С другой стороны, 
(поскольку первая цифра числа меньше его последней цифры не более чем 
откуда 
что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна 