PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса, по естествознанию
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.
Найдите корень уравнения 
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса
На рисунке изображен график некоторой функции
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
На рисунке изображён график функции
Найдите 
Найдите 
если 
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 
где m — масса воды в килограммах, 
скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте 
м/с
). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.
Весной катер идёт против течения реки в 
раза
раза
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку 
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной 
высота призмы равна 
Точка K — середина ребра BB'. Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная прямой BD'.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Решите неравенство 
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
При каких значениях параметра a система 
имеет решения?
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
Известно, что S1 = 513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097 и S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547?
в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
0,87x = 9570 
откуда 
По теореме косинусов:
по отрезку 
дает значение площади подграфика функции 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл 
Таким образом, 
находим 
и 
Тогда
при заданной длине верёвки 
м:
(км/ч)
(км/ч);
Составим таблицу по данным задачи.
Получаем 
или 
Тогда: 
и поэтому, 
получаем:
верно только для неположительных значений a. Поэтому 
откуда
лежат только решения 
б) 
то
или 
то
или 
или 
Тогда 
поскольку они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, 
поскольку они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. 
поэтому прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA. Это и требовалось доказать.
Треугольники OEH и OMK также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники OMK и AOC, поэтому подобны треугольники OEH и OAC, причем коэффициент подобия равен 
Тогда 
а 
значит, 
А это соответственные углы при прямых ЕН и АС и секущей AE. Из равенства этих углов следует параллельность прямых ЕН и АС, что и требовалось доказать.
(свойство вписанных углов), 
(вертикальные). Коэффициент подобия равен 
и 
оно равно 
откуда 
Аналогично прямая KB параллельна прямой EM, а потому 
Следовательно, прямоугольные треугольники CKH и EMA подобны по двум углам, а значит, 
Итак, в треугольнике AOC прямые AC и EH делят общий угол AOC, начиная от вершины, на пропорциональные отрезки. Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, эти прямые параллельны, что и требовалось доказать.
По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной 
и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
откуда для n = 19 находим r = 3.
Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения a находятся из совокупности неравенств
и 
или 
что дает 
В этом случае 
Тогда:
откуда 
что дает 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
и 
и решая систему линейных, находим: m1 = 282, m2 = 7, m3 = 27, m4 = 34. Значит,
где 
то 
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому S4 не может быть равным 4547. 
где 
Кроме того, поскольку 
