РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 24563379

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток

На корабле плывёт 500 пассажиров и 15 членов команды. Сколько шлюпок потребуется, чтобы перевезти всех людей с корабля на берег, если в одну шлюпку помещается 80 человек.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по апрель 1994 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме «Неравенства». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Неравенства».

Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби .$

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, $AB=10,$ $BC=8,$ $CD=16.$ Найдите длину стороны AD.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Во сколько раз изменится объём конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания не изменился.

Найдите значение выражения $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 49, знаменатель: логарифм по основанию 2 7 конец дроби .$

10.  

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 150$ Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=10$ м/с и $v =15$ м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

11.  

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

12.  

Найдите точку максимума функции $y=7 плюс 15x минус x корень из: начало аргумента: x конец аргумента .$

13.  

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка плюс 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ;3,5 Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P  — делит сторону AB в отношении $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ считая от вершины A, точка K  — делит сторону BC в отношении $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость $\omega.$

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\omega$ является прямоугольником.

б)  Найдите расстояние от точки S до плоскости $\omega,$ если известно, что $SC=5,$ $AC=6.$

Решение. а)  Заметим, что $BP=BK,$ поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость $\omega$ проходит через прямую PK, параллельную плоскости ASC, $\omega$ пересекает ASC по прямой, параллельной PK. Пусть эта прямая пересекает SA и SC в точках M и L соответственно. Тогда прямые PK, AC и LM параллельны.

Кроме того, по условию, $\omega||SB,$ поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение  — параллелограмм.

Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые LM и LK. Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение  — прямоугольник. Это и требовалось доказать.

б)  Пусть H  — середина AC. Проведём SH и BH и пусть плоскость SHB пересекает $\omega$ по прямой QR. Тогда QR || SB, а расстояние от точки S до плоскости $\omega$ равно d(SB, QR)  — расстоянию между параллельными прямыми SB и QR. Найдем его.

В треугольнике SHB длина $SB=5,$ $BH= корень из: начало аргумента: BC в квадрате минус CH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 27 конец аргумента ,$ $SH= корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус CH в квадрате конец аргумента =4.$ Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть $BT = x,$ тогда $ST = 5 минус x,$ тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем: $HT в квадрате =BH в квадрате минус BT в квадрате = SH в квадрате минус ST в квадрате :$

$27 минус x в квадрате = 16 минус левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно 27 минус x в квадрате = минус 9 плюс 10x минус x в квадрате равносильно x= дробь: числитель: 18, знаменатель: 5 конец дроби .$

Тогда $HT = корень из: начало аргумента: 27 минус дробь: числитель: 324, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

По условию, $дробь: числитель: BK, знаменатель: KC конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому $дробь: числитель: BR, знаменатель: RH конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, $d левая круглая скобка SB, QR правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби HT= дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента , знаменатель: 25 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента , знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 18 минус 9x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что $OP=AP.$

б)  Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если $\angle ABC=120 градусов,$ а радиус описанной окружности равен 18.

Решение. а)  Обозначим углы треугольника ABC: $\angle A=2 альфа ,$ $\angle B=2 бета ,$ $\angle C=2 гамма .$ Заметим, что $2 альфа плюс 2 бета плюс 2 гамма =180 градусов.$ $\angle BPA=\angle ACB=2 гамма ,$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично $\angle CAP=\angle CBP= бета .$ Тогда $\angle AOP=180 градусов минус альфа минус бета минус 2 гамма = альфа плюс бета .$ Но $альфа плюс бета =\angle OAP,$ следовательно, треугольник AOP  — равнобедренный, а тогда $AP=OP.$

б)  Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°, следовательно, $\angle APC=180 градусов минус 120 градусов = 60 градусов,$ $AP=PC,$ как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC равносторонний. Искомое расстояние d равно его высоте: $d= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента AC, знаменатель: 2 конец дроби .$

По теореме синусов

$AC=2R синус \widehatABC= 36 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Следовательно, $d = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = 27.$

Ответ: б) 27.

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в этой задаче ЕГЭ-⁠2019 стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):

1.  Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2.  Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

В нашем случае эта точка  — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт  а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, и поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите x, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший  — не менее 0,5 млн рублей.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

При каких значениях параметра a уравнение

$дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс a в квадрате минус 4a, знаменатель: x в квадрате минус a конец дроби =0$

имеет ровно 2 различных решения.

Решение. В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 5,$ все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу $a=x в квадрате ,$ точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставляя $a=x в квадрате$ в уравнение $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 5$ и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; 4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$   — точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.

Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из 5 ,$ $a не равно 0,$ $a не равно 1,$ $a не равно 4.$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка .$

Приведем решение Тофига Алиева.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если числитель имеет два различных корня, а знаменатель не равен 0. Числитель имеет два различных корня, если дискриминант положителен:

$левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a правая круглая скобка больше 0 равносильно 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Исключим значения параметра а, при которых знаменатель обращается в 0. Подставив в числитель $a=x в квадрате ,$ получим

$x в квадрате минус 2x плюс x в степени 4 минус 4x в квадрате =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка .$

Следовательно, числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль при x  =  0, x  =  −1 и x  =  2 при условии $a=x в квадрате ,$ или a  =  0, a  =  1 и a  =  4, и эти значения параметра а должны быть исключены.

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из 5 ,$ $a не равно 0,$ $a не равно 1,$ $a не равно 4.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно.	3
С помощью верного рассуждения получены не все значения a.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

19.  

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться $a_1,$ если $a_100=75?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Решение. а)  Пусть a  — первое число. Постараемся найти цепочку вида:

$aarrow 2a arrow 4a arrow 8a arrow 8a минус 98 arrow 8a минус 98 минус 98.$

Для зацикливания требуется, чтобы $a=8a минус 196.$ Это уравнение имеет натуральное решение: $a=28.$ Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:

$28arrow 56 arrow 112 arrow 224 arrow 126 arrow 28 arrow \ldots$

б)  По условию или $a_99= дробь: числитель: a_100, знаменатель: 2 конец дроби ,$ или $a_99=a_100 плюс 98.$ Но $a_100$   — нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность: $a_99=75 плюс 98.$ $a_99$   — снова нечетное число, поэтому для $a_98$ снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем: $a_1=75 плюс 98 умножить на 99=9777.$

в)  Заметим, что цепочка $7arrow 14 arrow 28 arrow 56 arrow 112 arrow 14 arrow \ldots$ удовлетворяет условиям. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112.

Пусть a  — наибольший член последовательности (начиная с момента, когда впервые произошло умножение на 2; заметим, что в нашем случае 98 не может вычитаться дважды подряд). Тогда предыдущее число  — это $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, a  — четное.

Ясно, что значение 98 и меньше a быть не может, так как это бы означало, что в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Переберем эти значения. Рассмотрим момент, когда a появился впервые (очевидно, номер этого члена последовательности заведомо не превзойдет, например, 10). В случае значений a, равных 100, 102, 106, после вычитания 98 (на следующем шаге), мы попадем в элемент цепочки

$2arrow 4 arrow 8 arrow 16 arrow 32 arrow 64 arrow 128 arrow \ldots$

и найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 128).

Значения a, равные 104 и 110, приведут нас в элемент цепочки

$6arrow 12 arrow 24 arrow 48 arrow 96 arrow 192 arrow \ldots$

Значение $a=108$ приведет нас к цепочке

$10arrow 20 arrow 40 arrow 80 arrow 160 arrow \ldots$

и вновь найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 160).

Ответ: а)  да; б)  9777; в)  112.

Примечание.

Как можно было догадаться, что в пункте в) цепочку надо начинать с 7 (или 14)? Кстати, эта цепочка подходит и для пункта а). Дело в том, что в результате наших операций образуются числа вида $2 в степени k умножить на m,$ где m − нечетное число. Это число должно быть больше 98, но не сильно. Можно перебрать маленькие значения k и подобрать m как раз с этим условием ( $2 в степени k умножить на m$ больше 98, но не сильно). Так мы довольно быстро получаем число $112=2 в степени 4 умножить на 7,$ которое хорошо тем, что при вычитании 98 дает 14. Это хорошее число, потому что $14=2 умножить на 7$ и после нескольких умножений на 2 мы вновь попадем в 112. (Например, $13 умножить на 2 в кубе минус 98=104 минус 98=6,$ 6 − это далеко не такое хорошее число, хоть оно и меньше 14, т. к. после серии умножений 6 на 2, наименьшее число, которое будет больше 98, это 192.)

Можно было также думать: $98=14 умножить на 7.$ Следовательно, если начать с 14, то через три операции мы получим $14 умножить на 2 в кубе =14 умножить на 8.$ И при вычитании 98 мы получим $14 умножить на 8 минус 14 умножить на 7,$ т. е. снова 14, а это для нас очень хорошо!

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526203	7
2	526204	6
3	526205	6
4	526206	0,6
5	526207	2
6	526208	18
7	526209	0,25
8	526210	12
9	526211	2
10	526212	390
11	526213	11
12	526214	100
13	526215	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$
14	526216	б) $дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 39 конец аргумента , знаменатель: 25 конец дроби .$
15	526217	(−2; 1).
16	526218	б) 27.
17	526219	25.
18	526220	$a принадлежит левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка .$
19	526221	а)  да; б)  9777; в)  112.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток

Ключ