В четырёхуголь­ник ABCD, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 48, впи­са­на окруж­ность, AB  =  15. Най­ди­те CD.

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по гео­гра­фии всего 50 би­ле­тов, в пят­на­дца­ти из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Стра­ны Аф­ри­ки». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме «Стра­ны Аф­ри­ки».

Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из­го­тов­лен­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни  моля воз­ду­ха объeмом  л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  (Дж), где по­сто­ян­ная, а  К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10980 Дж?

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 140⁠-⁠ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 4 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 4 часа рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S точка M  — се­ре­ди­на SD, точка K  — се­ре­ди­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BK и CM лежат в одной плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MABF, если угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен 60° и AB  =  8.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2028 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 40 млн руб­лей на 4 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг дол­жен быть на 25% мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2032 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­ви­ла 61,875 млн руб­лей. Най­ди­те r.

В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AH и CT. Из точки H про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM на сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую CT в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые EH и AB па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те ME, если из­вест­но, что AB  =  17 и AC  =  16.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее –⁠32. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — на 8. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно утро­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 1?

б)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих карт может быть на столе?