PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
а) Докажите, что угол между прямыми 
и BC равен 
б) Найдите объём цилиндра.
Решение. а) Пусть BB1 — образующая цилиндра. Тогда BB1C1C — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC1 и BС равен углу
Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая B1C1, параллельная прямой BС, перпендикулярна прямым AB и BB1. Таким образом, прямая B1С1 перпендикулярна плоскости ABB1, а значит, угол AB1C1 прямой.
В прямоугольном треугольнике АB1С1
Значит, 
б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра
Следовательно, объём цилиндра
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки 
а на окружности другого основания — 
— образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
а) Докажите,что угол между прямыми и BC равен 
б) Найдите объём цилиндра.
Решение. а) Пусть
— образующая цилиндра. Тогда 
— прямоугольник, поэтому угол между прямыми и 
равен углу
Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая 
параллельная прямой BC, перпендикулярная прямым AB и 
Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости 
а значит, угол 
прямой.
В прямоугольном треугольнике 
:
Значит, 
б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра равна
Следовательно, объём цилиндра равен 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС1. Значит, угол АВС1 прямой.
б) Поскольку прямые ВВ1 и СС1 параллельны, искомый угол равен углу АС1С. Треугольники АВС и АСС1 являются прямоугольными, поэтому
Ответ: 
Приведем другое решение пункта а).
Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть 
а радиус основания равен r. Найдем координаты точек A, B и C1:
Найдем координаты векторов 
и 
Тогда скалярное произведение равно:
Значит, угол АВС1 прямой.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.
Решение. а) Прямые ВС1 и AD1 параллельны, поэтому угол между прямыми
б) Заметим, что прямые АС и ВС1 содержатся в параллельных плоскостях
Обозначим центры треугольников ACD1 и BC1A1 через точки
Объем тетраэдра DACD1 равен 36, а площадь его основания 
Значит, высота 
Аналогично 
Кроме того, 
Значит, 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Пусть φ — угол между прямыми
откуда φ = 60°.
б) Рассмотрим плоскость α, проходящую через AC и параллельную BC1. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим:
Тогда: 
Плоскость α не проходит через начало координат, а потому коэффициент D можно положить любым, отличным от нуля. Пусть 
тогда уравнение плоскости имеет вид 
Расстояние между прямыми
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 8, ВВ1 = 6, В1С1 = 15.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС1 прямой.
б) Поскольку прямые ВВ1 и СС1 параллельны, искомый угол равен углу АС1С.
Треугольники АВС и АСС1 являются прямоугольными, поэтому:
Ответ: 
Приведем другой способ решений.
a) Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C1. Пусть 
а радиус основания — r, тогда 
Найдем координаты векторов и 
Найдем длины векторов и 
Найдем косинус угла между этими векторами:
Значит, угол АВС1 прямой.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а AC1 пересекает его ось цилиндра.
а) Докажите, что угол C1BA = 90°.
б) Найдите площадь боковой поверхности, если AB = 16, BB1 = 5, B1C1 = 12.
Решение. а) Пусть точка C проекция точки C1 на нижнее основание. Тогда AC — проекция AC1 на плоскость нижнего основания. AC1 пересекает ось цилиндра, поэтому и AC тоже. Следовательно, AC является диаметром окружности, а
поскольку опирается на него. CB является проекцией C1B. Тогда C1B перпендикулярно AB по теореме о трёх перпендикулярах, то есть 
б) 
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC гипотенуза 
Следовательно, 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1, если AB = 21, BB1 = 12, B1C1 = 16.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС1 прямой.
б) Треугольник ABC1 прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта а).
Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть а радиус основания равен r. Найдем координаты точек A, B и C1:
Найдем координаты векторов и
Тогда скалярное произведение равно:
Значит, угол АВС1 прямой.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1, если AB = 15, BB1 = 16, B1C1 = 12.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС1 прямой.
б) Треугольник ABC1 прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:
Ответ: б) 12
Приведем другое решение пункта а).
Введем систему координат, как показано на рисунке. Пусть а радиус основания равен r. Найдем координаты точек A, B и C1:
Найдем координаты векторов и
Тогда скалярное произведение равно:
Значит, угол АВС1 прямой.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1, а значит, угол АВС1 прямой.
б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, длина
окружности основания цилиндра равна
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 15, BB1 = 21, B1C1 = 20.
Решение. а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.
Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1б а значит, угол АВС1 прямой.
б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, длина
окружности основания цилиндра равна
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра AD, отрезки AO и DQ пересекаются в точке K, а отрезки MO и DQ пересекаются в точке N. Тогда MO — средняя линия в треугольнике ADB, а NO — средняя линия в треугольнике QDB. Значит,
Таким образом, треугольники AKQ и OKN равны. Следовательно, точка K — середина отрезка AO. Значит, прямая PK содержит среднюю линию треугольника ASO, поэтому она перпендикулярна плоскости основания пирамиды SABCD. Плоскость DPQ содержит прямую PK, поэтому она тоже перпендикулярна плоскости основания.
б) Пусть сторона основания пирамиды равна 
а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна
откуда 
Площадь сечения DPQ равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис. 1), точка M — середина ребра AD, отрезки AO и DQ пересекаются в точке K, а отрезки MO и DQ пересекаются в точке N (рис. 2). Тогда MO — средняя линия в треугольнике ADB, а NO — средняя линия в треугольнике QDB. Значит,
Таким образом, треугольники AKQ и OKN равны. Следовательно, точка K — середина отрезка AO. Значит, прямая PK содержит среднюю линию треугольника ASO, поэтому она перпендикулярна плоскости основания пирамиды SABCD. Плоскость DPQ содержит прямую PK, поэтому она тоже перпендикулярна плоскости основания.
б) Пусть сторона основания пирамиды равна а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна
откуда 
Площадь сечения DPQ равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
Решение. а) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Пусть К — середина ребра АВ, а N — середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а
Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что 
а) Докажите, что угол между прямыми BC и AC1 равен
б) Найдите расстояние от точки B до AC1.
Решение. а) Пусть
— образующая цилиндра. Тогда — прямоугольник, поэтому угол между прямыми и BC равен углу
Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая параллельная прямой BC, перпендикулярная прямым AB и Таким образом, прямая 
перпендикулярна плоскости а значит, угол прямой.
В прямоугольном треугольнике :
Тогда 
Таким образом, гипотенуза AC1 прямоугольного треугольника AB1C1 вдвое больше катета. Следовательно, 
а искомый
б) Наклонная C1B перпендикулярна прямой AB по теореме о трёх перпендикулярах. Тогда треугольник АВС1 прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника ABC1 к гипотенузе АС1. Она равна
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |