Ре­ше­ние. Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 114% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 1596 на 1,14:

Зна­чит, цена чай­ни­ка до по­вы­ше­ния со­став­ля­ла 1400 руб­лей.

Ответ: 1400.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что кру­тя­щий мо­мент 120 Н · м до­сти­га­ет­ся при 2000 обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту (см. рис.). Под­став­ляя в фор­му­лу, по­лу­ча­ем:

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ная на сто­ро­ну BC, яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой вы­де­лен­но­го тре­уголь­ни­ка (см. рис.). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, на­хо­дим ги­по­те­ну­зу:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. За пер­вые три дня будет про­чи­тан 51 до­клад, на по­след­ние два дня пла­ни­ру­ет­ся 24 до­кла­да. По­это­му на по­след­ний день за­пла­ни­ро­ва­но 12 до­кла­дов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции, равна

Ответ: 0,16.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит,

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Точки мак­си­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с по­ло­жи­тель­но­го на от­ри­ца­тель­ный. На от­рез­ке [−6; 9] функ­ция имеет одну точку мак­си­му­ма x  =  7.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру шара, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара (см. рис.). Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

По­сколь­ку пло­щадь по­верх­но­сти шара да­ет­ся фор­му­лой имеем:

Ответ: 166,5.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку имеем:

Наи­мень­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние левой части по­лу­чен­но­го ра­вен­ства, и, со­от­вет­ствен­но, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние пра­вой части ра­вен­ства. Раз­ность в пра­вой части ра­вен­ства до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния при наи­мень­шем зна­че­нии вы­чи­та­е­мо­го ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при наи­боль­шем воз­мож­ном зна­че­нии зна­ме­на­те­ля По­это­му от­ку­да

По усло­вию лам­поч­ка долж­на на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 30 до 50 см от линзы. Най­ден­ное зна­че­ние удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Ско­рость плота равна ско­ро­сти те­че­ния реки, по­это­му со­став­ля­ет 2 км/⁠ч. Пусть u км/ч  — ско­рость яхты, тогда ско­рость яхты по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость яхты про­тив те­че­ния равна км/ч, при­чем Яхта, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A, а плоту, чтобы прой­ти те же 24 км, по­на­до­би­лось на час боль­ше вре­ме­ни. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Ответ: 22.

При­ме­ча­ние.

Вы­чис­ле­ния можно было бы упро­стить, ис­поль­зуя фор­му­лу для чет­но­го ко­эф­фи­ци­ен­та при х:

где ко­рень можно вы­чис­лить так:

Чтобы до­га­дать­ся, что число 3721 яв­ля­ет­ся квад­ра­том 61, можно либо за­ме­тить, что 60²  =  3600, и про­ве­рить бли­жай­шее целое число, за­кан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 1, либо пред­ста­вить число 3721 в виде пол­но­го квад­ра­та суммы:

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −4.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку от­бе­рем на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.) По­лу­чим числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме, об­рат­ной обоб­щен­ной тео­ре­ме Фа­ле­са, MN || PQ, и по­то­му точки P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Пусть объём ABCD равен V. Пя­ти­гран­ник APMNCQ со­сто­ит из четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды PACNM с ос­но­ва­ни­ем ACNM и тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды PQCN с ос­но­ва­ни­ем QCN. Вы­ра­зим их объ­е­мы через V.

Рас­сто­я­ние от P до BCD вдвое мень­ше рас­сто­я­ния от A до BCD, а пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков QCN и BCD, по тео­ре­ме об от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков с рав­ным углом, от­но­сят­ся как 1 : 6. Зна­чит,

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MBN со­став­ля­ет пло­ща­ди ABC. Зна­чит, Рас­сто­я­ние от точки P до ABC вдвое мень­ше рас­сто­я­ния от D до ABC, по­это­му

Таким об­ра­зом, то есть

Ответ: 13 : 23.

Ре­ше­ние. Пусть решим ра­ци­о­наль­ное не­ра­вен­ство:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мые BC и AE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L. Тогда тре­уголь­ни­ки AED и LEC равны, по­сколь­ку DE  =  CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Сле­до­ва­тель­но, и че­ты­рех­уголь­ник KCLA  — тра­пе­ция. Пря­мая BE со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции и се­ре­ди­ну ее ос­но­ва­ния AL. Тогда по за­ме­ча­тель­но­му свой­ству тра­пе­ции она со­дер­жит и се­ре­ди­ну ос­но­ва­ния  КС  — точку O. Таким об­ра­зом,

б)  По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки AED и LEC равны, Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KBC и ABL сле­ду­ет, что то есть Тогда

Ответ: 3 : 7.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

Пусть пря­мые BC и AE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L. Тогда тре­уголь­ни­ки AED и LEC равны, так как DE  =  CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок  BE  — ме­ди­а­на ABL. Тре­уголь­ни­ки ABE и KBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Тре­уголь­ни­ки LBE и CBO по­доб­ны с тем же ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия. Тогда

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та S еже­год­ные вы­пла­ты x, По усло­вию долг на июль ме­ня­ет­ся так:

Если долг вы­пла­чен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₂, то от­ку­да

Если долг вы­пла­чен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₄, то от­ку­да

Тогда

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. За­пи­шем урав­не­ние в виде и рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: яв­ля­ет­ся кор­нем при вы­пол­не­нии усло­вий

То есть, если

Вто­рой слу­чай:

Ко­рень удо­вле­тво­ря­ет усло­вию и лежит на от­рез­ке [0; 1] при

Корни урав­не­ния и сов­па­да­ют при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1] при и

От­ве­ты:

Ре­ше­ние. а)  Если на доске на­пи­са­но по 15 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма 2454.

б)  Пусть на доске ровно одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 6. Тогда на доске на­пи­са­но 29 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Их сумма не мень­ше, чем сумма 29 на­пи­сан­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 2454.

в)  Пусть на доске n чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 30 − n, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2. Тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, не мень­ше суммы

Сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, не мень­ше суммы

Таким об­ра­зом, от­ку­да по­сколь­ку

Если на доске 10 чисел, окан­чи­ва­ю­ща­я­ся на 6, и 20 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, то их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0. Зна­чит, чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, боль­ше 10. При­ведём при­мер 11 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, и 19 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2, с сум­мой 2454: 6, 16, ..., 86, 96, 196, 2, 12, ..., 172, 182.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  11.