Угол C тре­уголь­ни­ка ABC, впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен 30°. Най­ди­те сто­ро­ну AB этого тре­уголь­ни­ка.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит пря­мо­уголь­ник, одна бо­ко­вая грань пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а три дру­гие бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 9. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Перед на­ча­лом тур­ни­ра по шах­ма­там участ­ни­ков слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на пары с по­мо­щью жре­бия. Всего за­ре­ги­стри­ро­ва­но 46 шах­ма­ти­стов, среди ко­то­рых 19 спортс­ме­нов из Санкт-Пе­тер­бур­га, в том числе и Алек­сей Жу­равлёв. Най­ди­те ве­ро­ят­ность, что Алек­сей Жу­равлёв будет иг­рать с шах­ма­ти­стом из Санкт-Пе­тер­бур­га.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на?

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в ват­тах),   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T  — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не-ко­то­рой звез­ды равна м², а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в кель­ви­нах.

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 60 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 4 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но за пятый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 8 дней.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те b.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой AB  =  1 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ яв­ля­ют­ся цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ cот­вет­ствен­но. На ребре CC₁ от­ме­че­на точка M такая что CM  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка тре­уголь­ни­ка ABM.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ха­ри­тон хочет взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму и вы­би­ра­ет между двумя бан­ка­ми. Пер­вый банк пред­ла­га­ет кре­дит на 10 лет под 7% го­до­вых, вто­рой  — на 6 лет под 9% го­до­вых. В обоих бан­ках при­ме­ня­ет­ся диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная си­сте­ма пла­те­жей по кре­ди­ту, то есть долг перед бан­ком умень­ша­ет­ся каж­дый год на одну и ту же ве­ли­чи­ну по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Опре­де­ли­те, в каком банке пе­ре­пла­та по кре­ди­ту будет мень­ше и на сколь­ко про­цен­тов.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ния диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  3.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Бре­сте каж­дый день с 6 по 19 июля 1981 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра была наи­мень­шей за ука­зан­ный пе­ри­од.

Си­сте­ма на­ви­га­ции самолёта ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полёт про­хо­дит на вы­со­те 35 000 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту полёта в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три груп­пы так, чтобы в каж­дой груп­пе было хотя бы одно число. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми два из этих трех зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние наи­боль­ше­го из по­лу­ча­е­мых трех сред­них ариф­ме­ти­че­ских