В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра AB  =  8, AD  =  7, AA₁  =  5. Точка W при­над­ле­жит ребру DD₁ и делит его в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки C, W и A₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  5 : 3, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  5 : 11, а точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AD = 10, AA₁  =  16.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E  =  6EA. Точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AD  =  12, AA₁  =  14.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ETD₁ делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 4 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD₁.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра и Точка W при­над­ле­жит ребру DD₁ и делит его в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D.

а)  До­ка­жи­те, что любая плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны A₁ и C, делит па­рал­ле­ле­пи­пед на две рав­но­ве­ли­кие фи­гу­ры.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки C, W и A₁.

Точка E  — се­ре­ди­на ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние куба плос­ко­стью A₁BE − это рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если ребра куба равны 2.

Точка E  — се­ре­ди­на ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние куба плос­ко­стью D₁AE есть рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если ребра куба равны 4.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины рёбер: AB  =  4, BC  =  3, AA₁  =  2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер A₁B₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что B₁K : KC₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью APQ.

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁P и QB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку P и пер­пен­ди­ку­ляр­ной пря­мой BQ, если ребро куба равно 10.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ через диа­го­наль BD₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с плос­ко­стью ос­но­ва­ния A₁B₁C₁D₁ па­рал­лель­на пря­мой A₁C₁.

б)  Най­ди­те угол между про­ведённой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если AB  =  6, BC  =  8, CC₁  =  10.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром длины 1. Точка Р  — се­ре­ди­на А₁D₁, точка Q делит от­ре­зок АВ₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны А, R  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков ВС₁ и В₁С.

а)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью PQR.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость се­че­ния делит диа­го­наль АС₁ куба.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребре AA₁, причём A₁P : PA  =  3 : 4, BB₁  =  14, AD  =  6. Плос­кость DPB₁ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке N, тан­генс угла между пря­мой  NP и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD равен

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник DPB₁N  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPB₁N.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC₁ и пе­ре­се­ка­ю­щая ребра BB₁ и DD₁ в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние AFC₁E  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AFC₁E  — ромб и AB  =  3, BC  =  2, AA₁  =  5.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC₁ и пе­ре­се­ка­ю­щая ребра BB₁ и DD₁ в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние AFC₁E  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AFC₁E  — ромб и AB  =  3, BC  =  2, AA₁  =  5.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M  — се­ре­ди­ны ребер AB, B₁C₁ и DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние куба плос­ко­стью KLM яв­ля­ет­ся пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки A до плос­ко­сти KLM, если ребро куба равно 2.

На ребре BB₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 6. Точка  T  — се­ре­ди­на ребра  B₁C₁. Из­вест­но, что AD  =  12, AA₁  =  14.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость FTD₁ делит ребро AA₁ в от­но­ше­нии 2 : 5.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью FTD₁.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ через се­ре­ди­ну M диа­го­на­ли AC₁ про­ве­де­на плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диа­го­на­ли, AB  =  5, BC  =  3 и AA₁  =  4.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α со­дер­жит точку D₁.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость делит ребро A₁B₁.

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Длины рёбер AD и A A₁ равны 6 и 10 со­от­вет­ствен­но.

a) До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью ETD₁, если

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром длины 1. Точка Р  — се­ре­ди­на A₁D₁, точка Q делит от­ре­зок AB₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны A, R  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BC₁ и B₁C.

а)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью PQR.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость се­че­ния делит диа­го­наль AC₁ куба.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ и На от­рез­ках BC₁ и BD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но так, что пря­мые AM и A₁N пе­ре­се­ка­ют­ся и

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мой D₁M и плос­ко­стью BCC₁ равен 30°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью AMN.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что AM  =  3. Через точки M и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что если N  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A₁D₁.

б)  Най­ди­те объем боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ через точки B₁ и D₁ про­хо­дят плос­ко­сти α и β, каж­дая из ко­то­рых делит диа­го­наль AC₁ на части, от­но­ся­щи­е­ся друг к другу как 1 : 3. Также AB  =  4, BC  =  3 и вы­со­та па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти α и β пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов ча­стей, на ко­то­рые плос­ко­сти α и β делят па­рал­ле­ле­пи­пед  ABCDA₁B₁C₁D₁.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины ребер: AB  =  4, BC  =  2, AA₁  =  2. Точка M  — се­ре­ди­на B₁C₁, точка L делит ребро A₁B₁ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B₁. Плос­кость LMC пе­ре­се­ка­ет ребро AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью KLM.

B ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диа­го­на­ля­ми пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся в точке О. Ребро AA₁ на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 45°, а вер­ши­на A₁ ор­то­го­наль­но про­еци­ру­ет­ся в точку O. Через точку A₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но бо­ко­вым реб­рам про­хо­дит плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью   — квад­рат.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость делит объем приз­мы.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах AB и D₁C₁ от­ме­че­ны точки M и N, такие, что D₁N : NC₁  =  BM : MA  =  1 : 3, точка O  — центр грани  BCC₁B₁. Через точки A₁ и O про­хо­дит плос­кость α па­рал­лель­но пря­мой MN и со­став­ля­ет с плос­ко­стя­ми ABC, BB₁C и DCC₁ оди­на­ко­вые углы.

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­ны па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ от­но­сят­ся как 3 : 4 : 5.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α, если ребра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 3, 4, 5.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки M и K  — се­ре­ди­ны его ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точку B па­рал­лель­но пря­мым A₁M и B₁K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку D.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если его ребра равны 2.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AD  =  2AA₁, AB  =  3AA₁. Плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны A и C₁ и пе­ре­се­ка­ет ребро CD в точке N такой, что CN  =  2ND.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α, если AA₁  =  1.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD с углом 60° при вер­ши­не A. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M, K и N со­от­вет­ствен­но так, что четырёхуголь­ник AMKN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 1 и 2.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если ее объем равен 5 и из­вест­но, что точка K делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии B₁K : KC₁  =  2 : 3.