В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1.
б) Найдите высоту призмы, если ее объем равен 5 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K : KC1 = 2 : 3.
а) Прямые MK и AN не имеют общих точек, поскольку лежат в параллельных плоскостях. Значит, в равнобедренной трапеции AMKN отрезки MK и AN являются основаниями, тогда прямые MK и AN параллельны и 
Продлим прямые AM и KN до пересечения в точке E. В треугольнике AEN отрезок MK — средняя линия, 
Значит, точка M — середина отрезка AE, а точка K — середина отрезка NE. Прямая AE лежит в плоскости ABB1, прямая NE — в плоскости CBB1, все общие точки этих плоскостей, в том числе и точка E, лежат на прямой BB1.
В треугольнике ABE отрезок MB1 является средней линией, поскольку проходит через середину стороны AE и параллелен стороне AB, тогда
Следовательно, точка M — середина ребра A1B1, что и требовалось доказать.
б) По аналогии с доказанным в пункте а) отрезок KB1 — средняя линия треугольника NBE. Тогда 
Пусть 
тогда 
По условию 
следовательно, 
и прямоугольные треугольники EMB1 и EKB1 равны по гипотенузе и общему катету. Значит, 
По условию 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABN получаем:
Выразим объем прямой призмы ABCDA1B1C1D1:
По условию объем призмы равен 5, а значит, 
откуда 
Ответ: 