а)  Пусть точки M₁ и P  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁ и A₁D₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда па­рал­лель­ны пря­мые B₁K и PD, а также пря­мые A₁M и M₁B. Пря­мые M₁P, B₁D₁ и BD по­пар­но па­рал­лель­ны, по­это­му точки M₁, P, D, B лежат в одной плос­ко­сти. Эта плос­кость и есть плос­кость α, по­сколь­ку она про­хо­дит через точку B и со­дер­жит пря­мые, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные пря­мым A₁M и B₁K.

б)  Диа­го­на­ли BD и B₁D₁ гра­ней куба яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми квад­ра­тов со сто­ро­ной 2, а по­то­му они равны  От­ре­зок M₁P  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁B₁D₁, по­это­му Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DD₁P и BB₁M₁ равны по двум ка­те­там, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, се­че­ние куба плос­ко­стью α  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция BM₁PD. Про­ве­дем от­ре­зок M₁H  — вы­со­ту этой тра­пе­ции. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна

Ответ: б)  4,5.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

По­ло­жим ребро куба рав­ным а, вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

По усло­вию плос­кость α про­хо­дит через точку B па­рал­лель­но пря­мым A₁M и B₁K, зна­чит, век­тор нор­ма­ли этой плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен обеим этим пря­мым, то есть и

По­ла­гая на­хо­дим:

Урав­не­ние плос­ко­сти α имеет вид по­сколь­ку она про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Сле­до­ва­тель­но, этим урав­не­ни­ем яв­ля­ет­ся Ко­ор­ди­на­ты точки D удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию плос­ко­сти α: Таким об­ра­зом, плос­кость α про­хо­дит через точку D.