Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 661826
i

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны длины ребер: AB  =  4, BC  =  2, AA1  =  2. Точка M  — се­ре­ди­на B1C1, точка L делит ребро A1B1 в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B1. Плос­кость LMC пе­ре­се­ка­ет ребро AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 плос­ко­стью KLM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как по усло­вию пря­мые LM, KC и BC, B1C1 па­рал­лель­ны, углы LMB1 и KCB равны. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки LMB1 и KCB по­доб­ны, а по­то­му дробь: чис­ли­тель: KB, зна­ме­на­тель: LB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: B_1M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби . На­хо­дим:

KB=2LB_1=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A_1B_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB,

сле­до­ва­тель­но, точка K  — се­ре­ди­на AB.

б)  Пусть LP  — вы­со­та тра­пе­ции KLMC, Q  — про­ек­ция точки L. За­ме­тим, что:

KB=2,

KC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KB в квад­ра­те плюс DC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

B_1M=1,

B_1L= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A_1B_1=1,

LM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1M в квад­ра­те плюс B_1L в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

При этом

KQ=KB минус BQ=KB минус B_1L=1,

KL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KQ в квад­ра­те плюс LQ в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

MC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CC_1 в квад­ра­те плюс MC_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

сле­до­ва­тель­но, KL  =  MC, а зна­чит, тра­пе­ция KLMC рав­но­бед­рен­ная. Имеем:

KP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка KC минус LM пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

LP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KL в квад­ра­те минус KP в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

S_KLMC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка LM плюс KC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на LP= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: б)   дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.07.2024. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Даль­ний Во­сток
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, Се­че­ние  — тра­пе­ция, Пло­щадь се­че­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026