Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р — середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.
а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.
б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба.
а) Прямая PR лежит в сечении, R — центр грани 
значит, расстояние от R до грани 
и от точки P равны, 
Следовательно, прямая PR и плоскость ABB1A1 параллельны, а сечение PQR пересекает грань по прямой, параллельной PR.
Пусть Q' — проекция Q на ребро 
При этом 
и
Пусть R' — проекция R на ребро 
тогда 
Следовательно, треугольник 
подобен треугольнику PRR', прямые A1Q и PR параллельны и принадлежит плоскости PQR. Пусть M — точка пересечения прямых 
и 
а прямые D1N и A1M параллельны, N принадлежит 
тогда искомое сечение 
— прямоугольник:
· 
б) Рассмотрим плоскость 
прямая 
лежит в плоскости PQR. Пусть K — точка пересечения прямых и 
значит, искомое соотношение — 
Треугольники 
и 
подобны (см. рис.), следовательно,
Ответ:а)
б) 2 : 1.