а) За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске.

б) По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в) Число 7 — наи­мень­шее число в на­бо­ре — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 мень­ше, чем сумма двух чисел 7, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким об­ра­зом, так как наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 7, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа — это 8 и 8 или 16. Для за­ду­ман­ных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.

а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (выписано 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится на 1.

Другой пример: 1, 2, 3, ... , 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма делится на 1. Если вместе с 1 выписаны числа k и k + 1, то сумма первых двух делится на третье; оставшиеся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 делятся на 2.

Третий пример: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в группе подряд идущих чисел пропущено 4).

б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.

в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.

Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, откуда в силу делимости суммы двух меньших чисел на большее получаем: a + b = c. Тогда b < a + c = 2a + b < 3b, откуда в силу делимости а + с на b получаем: a + c = 2b. Тогда b = 2a, c = 3a, а искомая тройка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По условию одно из этих чисел равно 2015, поскольку 2015 не делится ни на 2, ни на 3, им может быть только число a. Но в этом случае 3a > 5000. Противоречие.

Приведём другое доказательство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, откуда ab < 3. Следовательно, a = 1, b = 2. При этом c + 3 делится на 2c, поэтому c = 3. Таким образом, тройка чисел должна иметь вид d, 2d, 3d. Поскольку 2015 нечётно и не делится на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.

Ответ: а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.

а) На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б) Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна , а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна , и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда , что не­воз­мож­но.

в) Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать , то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит , от­ку­да , , Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а) да б) нет в)

а) Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 по­ло­жи­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх по­ло­жи­тель­ных чисел. Зна­чит, по­ло­жи­тель­ное число одно, и это число — наи­боль­шее число в на­бо­ре, то есть 6. Наи­мень­шее число в на­бо­ре −11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух от­ри­ца­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из от­ри­ца­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко −7 и −4 дают в сумме −11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −7, −4 и 6.

б) Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

Если на доске вы­пи­са­но ровно 4 нуля, то среди за­ду­ман­ных чисел нет нуля. Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы: три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел сов­па­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно че­ты­ре нуля. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел — 5.

в) Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел по­ло­жи­тель­ных, от­ри­ца­тель­ных и нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а) За­ме­тим, что в левой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б) При­ве­дем не­ра­вен­ство к виду Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в_{оцен­ка}) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да Так как по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в_{при­мер}) При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ:а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

а) За­ме­тим, что каж­дое число на доске будет де­лить­ся на 7. Дей­стви­тель­но, ис­ход­ное число де­лит­ся на 7, в слу­чае удво­е­ния числа де­ля­ще­го­ся на 7, по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. А при сло­же­нии чисел, де­ля­щих­ся на 7, также по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 7. Таким об­ра­зом, все числа на доске будут де­лить­ся на 7, а 2012 на 7 не де­лит­ся, сле­до­ва­тель­но, оно не может по­явить­ся на доске.

б) Да, может. При­мер: 7, 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7), 14 (удво­ен­ное число 7). Сумма по­лу­чен­ных 5 чисел равна 63.

За­ме­ча­ние. В усло­вии не ска­за­но, что одно число нель­зя удва­и­вать не­сколь­ко раз.

в) Как было за­ме­че­но в пунк­те а), все числа на доске будут де­лить­ся на 7. Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу, раз­де­лив ис­ход­ное число 7 и то число, ко­то­рое нужно по­лу­чить, то есть 784, на 7. От этого ко­ли­че­ство опе­ра­ций не из­ме­нит­ся. Таким об­ра­зом, до­ста­точ­но за наи­мень­шее ко­ли­че­ство опе­ра­ций по­лу­чить число 112, начав с числа 1.

За­ме­тим, что наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж­дый раз будет удва­и­вать те­ку­щее наи­боль­шее число). Сле­до­ва­тель­но, если в пер­вые 6 минут Вася каж­дый раз удва­и­вал наи­боль­шее число на доске, то число 112 нель­зя по­лу­чить за 7 минут: если число 64 удво­ить, то по­лу­чит­ся 128, а если при­ба­вить к нему число, не пре­вос­хо­дя­щее 32, то 112 не по­лу­чит­ся.

В том слу­чае, если в те­че­ние пер­вых 6 минут Вася ис­поль­зо­вал хотя бы одно сло­же­ние вме­сто удво­е­ния, то при пер­вом ис­поль­зо­ва­нии сло­же­ния наи­боль­шее число, за­пи­сан­ное на доске уве­ли­чи­лось не более, чем в пол­то­ра раза: дей­стви­тель­но, в этом слу­чае самый боль­шой ре­зуль­тат по­лу­чит­ся тогда, когда мы к мак­си­маль­но­му на дан­ный мо­мент числу при­ба­вим вто­рое по ве­ли­чи­не, то есть, его по­ло­ви­ну (на­пом­ним, что мы рас­смат­ри­ва­ем пер­вый слу­чай сло­же­ния, то есть до этого были толь­ко удво­е­ния). Таким об­ра­зом, даже если в те­че­ние пер­вых 7 минут сде­ла­но 6 удво­е­ний и одно сло­же­ние (в не­ко­то­ром по­ряд­ке), то наи­боль­шее число, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, равно 96, что мень­ше 112.

Итак, за 7 минут число 112 по­лу­чить не­воз­мож­но.

При­ве­дем при­мер, как его по­лу­чить за 8 минут:

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.

а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что

а) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась , то есть Сумма всех двенадцати чисел С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4. Значит,

б) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись Значит, , но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности не равны и число не меньше Значит,

в) Выразим число явно через , , , :

В предыдущих пунктах было показано, что Если , то или В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна или , то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; — число равно

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а) За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 9, по­это­му  — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 9. По усло­вию , по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 36 чисел.

б) При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как , по­лу­ча­ем, что , от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в) (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

,

от­ку­да

Так как , по­лу­ча­ем:

, , , ;

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 16.

в) (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз на­пи­са­но число 9, 18 раз на­пи­са­но число −18 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 36; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 16.

а) Если в каждой паре одно число втрое больше другого, то сумма чисел в каждой паре делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится на 4. Число 170 не делится на 4, поэтому такого быть не может.

б) Если то выбраны все 22 числа от 1 до 22. Их сумма равна 253. С другой стороны, по условию суммы чисел в каждой паре различны и не превосходят 27. Значит, их сумма не превосходит Полученное противоречие показывает, что число k не может быть равным 11.

в) В предыдущем пункте было показано, что k не может равняться 11. Десять пар (13; 14), (11; 15), (9; 16), (7; 17), (5; 18), (3; 19), (1; 20), (2; 8), (4; 10), (6; 12) удовлетворяют всем условиям задачи. Значит, наибольшее возможное значение числа k — это 10.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10.

Назовём ре­зуль­та­том число, на­пи­сан­ное на доске после 9 ходов.

а) Если на доске на­пи­са­ны числа

то при любой по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов ре­зуль­тат равен 5 и равен сумме чисел.

б) За­ме­тим, что за каж­дый ход вновь на­пи­сан­ное число от­ли­ча­ет­ся от суммы стёртых не более чем на 0,5. Зна­чит, ре­зуль­тат будет от­ли­чать­ся от суммы ис­ход­ных чисел не более чем на 4,5. Зна­чит, не су­ще­ству­ет 10 чисел таких, что ре­зуль­тат от­ли­ча­ет­ся от их суммы на 7.

в) Можем счи­тать, что все числа мень­ше 1 и не мень­ше 0, по­сколь­ку целые части каж­до­го из чисел при сло­же­нии не вли­я­ют на раз­ни­цу между их сум­мой и её округлённым зна­че­ни­ем.

Каж­дое из­на­чаль­ное число участ­ву­ет ровно в одном ходе. Если в этом ходе также участ­во­ва­ло целое число, не на­пи­сан­ное на доске из­на­чаль­но, то назовём вкла­дом из­на­чаль­но числа в ре­зуль­тат раз­ность за­пи­сан­но­го после хода числа и стёртого це­ло­го числа. Если оба числа, участ­во­вав­ших в ходе, были на­пи­са­ны на доске из­на­чаль­но, то назовём вкла­дом каж­до­го из них в ре­зуль­тат по­ло­ви­ну за­пи­сан­но­го после хода числа.

За­ме­тим, что ре­зуль­тат равен сумме вкла­дов из­на­чаль­ных чисел. С дру­гой сто­ро­ны, вклад каж­до­го числа, мень­ше­го 0,5, равен 0 или 0,5, а вклад каж­до­го числа, не мень­ше­го 0,5, равен 0,5 или 1.

Пусть n — ко­ли­че­ство чисел, не мень­ших 0,5.

Тогда сумма вкла­дов будет не мень­ше и не боль­ше

То есть наи­боль­шая раз­ность двух раз­лич­ных ре­зуль­та­тов не пре­вос­хо­дит 5.

Рас­смот­рим 10 чисел: два числа 0,5 и во­семь чисел 0,4. Если вна­ча­ле сло­жить два числа 0,5, а затем де­лать ходы с по­лу­чен­ной еди­ни­цей и чис­лом 0,4, то ре­зуль­тат будет равен 1. Если сде­лать че­ты­ре хода, по­пар­но сло­жив числа 0,4, затем сло­жить че­ты­ре по­лу­чен­ные еди­ни­цы, а потом де­лать ходы с по­лу­чен­ным чис­лом и чис­лом 0,5, то ре­зуль­тат будет равен 6.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шая воз­мож­ная раз­ность двух раз­лич­ных ре­зуль­та­тов равна 5.

Ответ: а) на­при­мер, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая по­сле­до­ва­тель­ность ходов; б) нет; в) 5.

а)

б) За­ме­тим, что сумма чисел на доске уве­ли­чи­ва­ет­ся на или (по­сколь­ку число 1 на доске ни­ко­гда не по­явит­ся). Зна­чит, после 49 ходов сумма ста­нет ми­ни­мум По­это­му после пя­ти­де­ся­то­го хода В то же время и по­то­му что левая часть не­чет­на, а пра­вая четна.

в) После хода раз­ность чисел ста­но­вит­ся равна или По­это­му мо­дуль раз­но­сти чисел ме­ня­ет­ся на 1. Из­на­чаль­но он был равен 1, по­это­му после 2015 ходов он будет чет­ным. Зна­чит, равен как ми­ни­мум двум.

При­ве­дем при­мер. Пер­вым ходом по­лу­чим пару (5;3), а затем каж­дые два хода будем по­лу­чать си­ту­а­цию, в ко­то­рой числа от­ли­ча­ют­ся на 2 (и ни­ко­гда в про­цес­се не будут равны):

По­вто­ряя эти дей­ствия, по­лу­чим в итоге два числа с раз­но­стью 2.

Ответ: а) б) нет; в) 2.

Упорядочим оценки судей: Тогда изучаемая величина равна

а) Да, например, при эта разность равна нулю.

б) Нет. Очевидно, при умножении разности на 12 получается целое число, но

в) Возьмем любые баллы и попробуем их изменить так, чтобы разность выросла. Если то заменим его на 10. Если то заменим b на Потом также заменим c, d, e на Получим

Значение достигается при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 10.

Ответ: а) да; б) нет; в)

а) поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример.

б) Обозначим сумму всех цифр десятков за a, а всех цифр единиц за b. Тогда откуда что невозможно — 363 не кратно 9.

в) Нужно максимизировать выражение поэтому a следует сделать как можно меньше. С другой стороны, (поскольку первая цифра числа меньше его последней цифры не более чем в 9 раз), поэтому откуда

Приведем пример — что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна

Ответ: а) 17 и 16; б) нет; в) 1650.

Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 2, то сумма любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 27 · 2 = 54. Бу­дучи на­ту­раль­ным чис­лом, эта сумма не пре­вос­хо­дит 53.

Обо­зна­чим S мак­си­маль­ную сумму 27 чисел дан­но­го на­бо­ра. Итак,

а) Да, может. Такой набор со­дер­жит 13 еди­ниц, 17 двоек и 3, 4, 5. Для него, оче­вид­но,

На­во­дя­щее со­об­ра­же­ние очень про­стое. Если есть ровно 13 еди­ниц и 3, 4, 5, то остав­ши­е­ся 17 ва­кан­сий за­пол­ня­ют­ся как ми­ни­мум двой­ка­ми. Вот и возьмём набор с этими 17-ю двой­ка­ми! Ясно, что мак­си­маль­ная сумма S по­лу­чит­ся, если в ка­че­стве сла­га­е­мых взять 3, 4, 5 и все двой­ки, до­брав оста­ток еди­ни­ца­ми.

б) Пред­по­ло­жим, что набор со­дер­жит k еди­ниц Осталь­ные 30 − k чисел на­бо­ра (по­ми­мо 3, 4, 5) назовём ва­кант­ны­ми. Ва­кант­ных чисел, стало быть, не менее 18, и каж­дое ва­кант­ное число не мень­ше 2.

Таким об­ра­зом, наш набор со­дер­жит 3, 4, 5 и во­сем­на­дцать чисел, не мень­ших 2; осталь­ные числа на­бо­ра не мень­ше 1. Для мак­си­маль­ной суммы S тогда по­лу­ча­ем:

Дан­ное не­ра­вен­ство по­ка­зы­ва­ет, что набор не может со­дер­жать менее 13 еди­ниц.

в) За­ме­тим сразу, что если набор со­дер­жит не менее 16 еди­ниц, то

По­это­му остаётся разо­брать слу­чаи, когда ко­ли­че­ство k еди­ниц в на­бо­ре менее 16.

Осталь­ные 30 − k чисел (по­ми­мо 3, 4, 5) про­дол­жа­ем на­зы­вать ва­кант­ны­ми.

При k = 13. Легко ви­деть, что набор, предъ­яв­лен­ный в пунк­те а), ока­зы­ва­ет­ся един­ствен­ным

на­бо­ром с ровно три­на­дца­тью еди­ни­ца­ми. В самом деле, для лю­бо­го дру­го­го та­ко­го на­бо­ра сумма 17-ти ва­кант­ных чисел будет боль­ше и сумма S ста­нет боль­ше 53. А для предъ­яв­лен­но­го на­бо­ра имеем:

При k = 14 или k = 15. За­ме­тим, что среди ва­кант­ных чисел обя­за­тель­но найдётся двой­ка. В самом деле, иначе все ва­кант­ные числа (ко­то­рых, со­от­вет­ствен­но, 16 или 15) будут не мень­ше 3, и тогда их сумма ока­жет­ся как ми­ни­мум что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Остаётся взять 14 еди­ниц и эту двой­ку:

До­ка­за­тель­ство за­кон­че­но.

Ответ: а) да; б) нет.

Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число a_k записано на карточке с номером k).

Аналогично, b₁, b₂, ..., b₁₀ — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:

а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа a_k нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.

б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть нечётно для любого

Следовательно, для каждого k в паре (a_k, b_k) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.

Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.

в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, для некоторого m и для всех остальных k.

Числа a_m и b_m оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (a_k, b_k) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если a_m и b_m чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если a_m и b_m нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.

Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку:

Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:

Затем на тех же карточках оказались числа:

Получаем:

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

а) Для вы­пол­не­ния усло­вий за­да­чи до­ста­точ­но, чтобы про­из­ве­де­ние двух мень­ших чисел было боль­ше 40, а про­из­ве­де­ние двух боль­ших чисел было мень­ше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

б) Пусть числа на доске за­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния: a < b < c < d < e < f . За­ме­тим, что иначе про­из­ве­де­ние ab будет мень­ше 40, а про­из­ве­де­ние ef будет боль­ше 100. Дру­ги­ми сло­ва­ми, на доске может быть толь­ко одно число a < 7 и толь­ко одно число f > 10. Но тогда че­тырь­мя раз­лич­ны­ми чис­ла­ми b, c, d, e долж­ны быть три числа 7, 8 и 9, что не­воз­мож­но.

в) Пусть на доске на­пи­са­ны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было по­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, со­сед­ние с край­ни­ми числа под­чи­ня­ют­ся усло­вию Сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ны толь­ко три слу­чая.

Если за­пи­са­ны числа а, 7, 8, d, то наи­боль­шие воз­мож­ные числа a = 6, d = 12. Сумма че­ты­рех за­пи­сан­ных чисел равна 33.

Если за­пи­са­ны числа а, 7, 9, d, то a = 6, d = 11, сумма 33.

Если за­пи­са­ны числа а, 8, 9, d, то a = 7, d = 11, сумма 35.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние суммы че­ты­рех чисел равно 35.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

а) Да, на­при­мер, числа 7, 8, 9, 10, 13.

б) Нет. Пусть — наи­мень­шее, — наи­боль­шее из за­пи­сан­ных чисел. По­сколь­ку все 10 чисел раз­лич­ны, По­сколь­ку числа от­ли­ча­ют­ся не более чем в 3 раза, от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее из за­пи­сан­ных чисел не мень­ше 5. Но тогда сумма за­пи­сан­ных чисел не мень­ше суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 5 + 6 + ... + 14 = 10 · (5 + 14)/2 = 95. Про­ти­во­ре­чие.

в) За­ме­тим пред­ва­ри­тель­но, что 8000 = 2⁶ · 5³. От­сю­да сле­ду­ет, что за­пи­сан­ные числа могут быть толь­ко сте­пе­ня­ми двой­ки или пя­тер­ки или их про­из­ве­де­ни­я­ми.

На доске могут быть за­пи­са­ны два числа: 2⁴ · 5 = 80 и 2² · 5² = 100. Могут быть за­пи­са­ны три числа: 2⁴ = 16, 2² · 5 = 20 и 5² = 25. На доске не может быть за­пи­са­но боль­шее ко­ли­че­ство чисел.

Дей­стви­тель­но, если на доске есть число m, крат­ное 25, то каж­дое из остав­ших­ся чисел не мень­шие 8. Тогда про­из­ве­де­ние m и трёх таких чисел боль­ше 8000. Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае боль­ше трёх чисел на доске быть не может. Если на доске нет чисел, крат­ных 25, то ровно три из них крат­ны пяти. Они имеют вид 5a, 5b и 5c, причём от­ли­ча­ют­ся друг от друга в 2 и в 4 раза, что не­воз­мож­но.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2 или 3.

а) Для чисел 2, 3, 3, 5 на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б) Среди за­ду­ман­ных чисел есть число 7, так как иначе оно бы не было за­пи­са­но на доску. По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, наи­боль­шее число в на­бо­ре — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Зна­чит, среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­но быть про­из­ве­де­ние всех чисел, кроме 7, то есть 945 : 7 = 135. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в) Наи­боль­шее число в на­бо­ре — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Число 82 рас­кла­ды­ва­ет­ся на про­стые мно­жи­те­ли как 2 · 41. Зна­чит, было за­ду­ма­но либо число 82 и пять еди­ниц, либо пара чисел 2 и 41 и че­ты­ре еди­ни­цы.

Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41.

а) Для чисел 2, 3, 5, 5 на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Среди за­ду­ман­ных чисел есть число 11, так как иначе оно бы не было за­пи­са­но на доску. По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, наи­боль­шее число в на­бо­ре — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Зна­чит, среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­но быть про­из­ве­де­ние всех чисел, кроме 11, то есть 550 : 11 = 50. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в) Наи­боль­шее число в на­бо­ре — это про­из­ве­де­ние всех за­ду­ман­ных чисел. Число 91 рас­кла­ды­ва­ет­ся на про­стые мно­жи­те­ли как 7 · 13. Зна­чит, было за­ду­ма­но либо число 91 и че­ты­ре еди­ни­цы, либо пара чисел 7 и 13 и три еди­ни­цы.

Ответ: а) 2, 3, 5, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.

a) Пусть начальные числа: a, b, c, d и e, тогда

Поскольку равенство

Равенство верно. Поэтому искомыми числами являются 1, 3, 8, 11, 2.

б) Равенство

приводит к равенству что невозможно для натуральных слагаемых.

Вывод: нет.

в) Пусть число A в k раз больше среднего арифметического. Тогда:

что невозможно при Пример для k = 2: 1, 3, 4, 7, 35.

Ответ: а) да, например: 1, 3, 8, 11, 2; б) нет; в) 2.

а) По­смот­рим на сумму не­сколь­ких зелёных чисел. Так как сумма будет ми­ни­маль­ной тогда, когда числа ми­ни­маль­ны, они долж­ны со­став­лять ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, с пер­вым чле­ном и раз­но­стью (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В слу­чае, если на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел их сумма равна:

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 40 на крас­ное число 35. Сумма 29 остав­ших­ся зелёных чисел и крас­но­го числа 35 будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа.

б) Как было по­ка­за­но в в пунк­те а) ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 30 зе­ле­ных чисел — 2325. Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из суммы 30 чисел самое боль­шое из на­пи­сан­ных — 150:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим наи­мень­шее крас­ное число, то есть 7:

Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел боль­ше 1467. Зна­чит, если на доске на­пи­са­но толь­ко одно крас­ное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в) Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Как было по­ка­за­но выше, при одном, самом ма­лень­ком, крас­ном числе сумма всех чисел боль­ше, чем 1467. Это озна­ча­ет, что нам не­об­хо­ди­мо за­ме­нять зе­ле­ные числа на крас­ные, при­чем, по­сколь­ку нам надо, чтобы крас­ных чисел было ми­ни­маль­ное число, то не­об­хо­ди­мо за­ме­нить ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство зе­ле­ных чисел, то есть наи­боль­шие зе­ле­ные числа за­ме­нять на наи­мень­шие крас­ные. Тогда суммы крас­ных и зелёных чисел, ана­ло­гич­но с преды­ду­щи­ми пунк­та­ми будут сум­ма­ми ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий:

Сумма всех чисел долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1467, тогда:

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 10 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким об­ра­зом, сумма чисел, за­пи­сан­ных на доске, со­ста­вит:

За­ме­ним те­перь 80 на 77:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся, что наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.

а) Пусть на доске за­пи­са­но 30 зе­ле­ных чисел, тогда по­след­нее число можно найти по фор­му­ле:

Тогда сумма всех зе­ле­ных чисел со­ста­вит 1395.

Те­перь за­ме­ним зе­ле­ное число 27 на крас­ное число 24, тогда сумма чисел на­пи­сан­ных на доске будет равна

При этом на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа.

б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, при­ведённая в пунк­те а) - ми­ни­маль­на, так как ми­ни­маль­но зна­че­ние (при боль­ших зна­че­ни­ях сумма будет воз­рас­тать). Чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных чисел, вы­чтем из ми­ни­маль­но воз­мож­ной суммы 30 зелёных чисел самое боль­шое - по­след­нее число, рав­ное 90:

Те­перь, чтобы по­лу­чить ми­ни­маль­но воз­мож­ную сумму 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел, при­ба­вим к ми­ни­маль­но воз­мож­ной сумме 29 зелёных чисел ми­ни­маль­но воз­мож­ное крас­ное число, то есть число 8:

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма 29 зелёных и 1 крас­но­го чисел , а это озна­ча­ет, что, если на доске на­пи­са­но толь­ко 1 крас­ное число, то сумма чисел не может быть равна 1469.

в) Пусть n - число крас­ных чисел, тогда число зелёных со­ста­вит (30-n). Суммы крас­ных и зелёных чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут со­став­лять:

и

Сумма всех чисел долж­на быть по край­ней мере мень­ше или равна 1066, тогда:

Зна­чит, не­об­хо­ди­мо за­ме­нить не менее 7 зе­ле­ных чисел. В ряду из 30 зелёных чисел за­ме­ним зе­ле­ные числа на крас­ные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким об­ра­зом сумма за­пи­сан­ных на доске чисел со­ста­вит:

Те­перь за­ме­ним еще 66 на 64, по­лу­чим:

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел равно 7.

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 7.

а) Пусть на доске написано число 250 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 10 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 12,13,14,..101). Найдем эту сумму:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна:

Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим:

При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 6.

а) Пусть на доске написано число 230 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 15,16,17,..101). Найдем эту сумму:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске:

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 14 на другие числа, следующие за сотней: 70 заменим на 110, 84 - на 104, а 98 - на 108. Полученная сумма S будет равна:

При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 4.

а) Да, на­при­мер:

б) Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Тогда на доске на­пи­са­но 28 чет­ных чисел. Их сумма не мень­ше, чем:

Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7/

в) За­ме­тим, что число 810 крат­но 2, сумма чет­ных чисел крат­на двум, тогда и сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тоже крат­на двум. Чтобы сумма не­чет­ных чисел де­ли­лась на два, сла­га­е­мых долж­но быть чет­ное ко­ли­че­ство. В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тогда наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство таких чисел — 4.

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7:

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.

а) Да, на­при­мер:

б) Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, сумма двух не­чет­ных чисел четна, тогда сумма всех чисел, на­пи­сан­ных на доске де­лит­ся на два, но 877 не крат­но 2 — про­ти­во­ре­чие. Таким об­ра­зом, на доске не может быть ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9.

в) Все числа на­пи­сан­ные на доске чет­ны­ми быть не могут. Пусть на доске на­пи­са­но одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 9, и 29 чет­ных чисел. Сумма всех чисел не мень­ше суммы:

В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, тогда их ко­ли­че­ство не мень­ше 3. В пунк­те а) при­ве­ден при­мер, когда на доске на­пи­са­но три таких числа, зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9 чисел — 3.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3.

За­ме­тим, что сти­ра­ют те числа, ко­то­рые ис­ход­но были еди­ни­ца­ми. Пусть из­на­чаль­но на доске были на­пи­са­ны n еди­ниц и дру­гих чисел.

а) Да, могло быть. За­ме­тим, что сумма этих дру­гих чисел равна Тогда по­лу­чим не­ра­вен­ство: Го­дит­ся, на­при­мер, Тогда под­хо­дят такие числа: 25 еди­ниц и числа 35, 36, 37, 38, 39.

б) Нет, не могло. Те­перь сумма всех чисел равна 810. Ана­ло­гич­но ре­ше­нию пунк­та а) по­лу­чим двой­ное не­ра­вен­ство: От­сю­да по­лу­ча­ем си­сте­му двух не­ра­венств: и Тогда и од­но­вре­мен­но Эта си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

в) Пусть M — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске. Тогда

Ясно, что M мак­си­маль­но, если n мак­си­маль­но. Вспом­ним, что ис­ход­ные числа не пре­вос­хо­дят 40. Зна­чит. от­ку­да Таким об­ра­зом, при­мер из пунк­та а) дает мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го:

Ответ: а) да, б) нет, в) 18,5.

а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, а их среднее арифметическое больше 5.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9. Тогда получаем: откуда Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

в) Получаем:

 

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны

причем Тогда

Значит, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 8. Например, если на доске написаны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то условия задачи выполнены и

Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма шести наименьших чисел не меньше , а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 10. Тогда получаем:

откуда Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

в) Получаем:

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны причем Тогда откуда

Значит, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36 то условия задачи выполнены и

Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

а) Нет. Итоговый балл по старой системе не больше а итоговый балл по новой системе не меньше Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.

б) Нет. Упорядочим оценки судей: пусть Тогда разность итоговых баллов равна

При умножении разности на 12 должно получаться целое число, но число нецелое.

в) Покажем, что числитель дроби (*) не меньше 12. Действительно, уменьшаемое а вычитаемое Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.

а) Пусть стирали следующие пары чисел: 9 и 19, 10 и 15, 11 и 16, 12 и 17, 13 и 18. Тогда на доске останутся числа 14 и 20, сумма которых равна 34.

б) Среди чисел от 59 до 92 ровно 6 чисел, дающих при делении на 5 остаток 3, и ровно по 7 чисел, дающих при делении на 5 четыре других возможных остатка. Следовательно, среди квадратов чисел от 59 до 92 ровно 7 чисел, делящихся на 5, ровно 13 чисел, дающих при делении на 5 остаток 4, и ровно 14 чисел, дающих при делении на 5 остаток 1. По условию каждый раз с доски стирали два числа, разность которых делится на 5. Значит, в каждой из пар стёртых чисел оба числа дают одинаковый остаток при делении на 5. Поэтому на доске обязательно останется число, делящееся на 5, и число, которое при делении на 5 даёт остаток 4. Произведение этих чисел делится на 5 и, следовательно, не может оканчиваться на цифру 1.

в) Как было доказано в предыдущем пункте, если на доске осталось ровно два числа, то одно из них делится на 5, а второе д аёт при делении на 5 остаток 4. Первое из этих чисел не меньше 60² и не больше 90², второе не меньше 62² и не больше 92². Поэтому если первое из этих чисел поделить на второе, то получится не больше а если второе из этих чисел поделить на первое, то получится не больше Поскольку получаем, что наибольшее значение, которое может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них, не превосходит

На доске могли остаться числа 92² и 60², так как остальные квадраты чисел от 59 до 92 можно разбить на такие пары: 3 пары чисел, делящихся на 5, 7 пар чисел, дающих при делении на 5 остаток 1, и 6 пар чисел, дающих при делении на 5 остаток 4. Значит, наибольшее значение, которое может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них, равно

Ответ: а) да; б) нет; в)

Пусть − сумма на синих карточках, − сумма на красных карточках. Тогда

а) Приведем пример. На каждой из сорока красных карточек написана 1. На синих карточках написаны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удовлетворяют системе.

б) Если красных карточек 10, то наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 4 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

в) Приведем пример для 35 синих карточек и 15 красных. На двенадцати красных карточках написано 3, на двух 1, и на одной 2. На синих карточках написано:

Если же синих карточек больше 35, то красных меньше 15. Наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 3 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

Ответ: а) да, б) нет, в) 35.